Прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 17 см, а один из катетов равен 8 см, вращается вокруг своего большего катета. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Решение:

1. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где AB = 8 см — один катет, AC = 17 см — гипотенуза.
2. Найдем второй катет BC по теореме Пифагора: \( BC^2 = AC^2 - AB^2 \).
3. \( BC^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225 \).
4. \( BC = \sqrt{225} = 15 \) см.
5. Сравниваем катеты: 8 см и 15 см. Больший катет — BC (15 см).
6. Треугольник вращается вокруг большего катета BC. При вращении образуется конус.
7. Высота конуса \( h \) равна длине большего катета, вокруг которого происходит вращение: \( h = BC = 15 \) см.
8. Радиус основания конуса \( r \) равен другому катету: \( r = AB = 8 \) см.
9. Образующая конуса \( l \) равна гипотенузе треугольника: \( l = AC = 17 \) см.
10. Площадь поверхности конуса складывается из площади боковой поверхности и площади основания.
11. Площадь боковой поверхности конуса \( S_{бок} = \pi r l \).
12. \( S_{бок} = \pi \cdot 8 \cdot 17 = 136 \pi \) см².
13. Площадь основания конуса \( S_{осн} = \pi r^2 \).
14. \( S_{осн} = \pi \cdot 8^2 = 64 \pi \) см².
15. Полная площадь поверхности конуса \( S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} \).
16. \( S_{полн} = 136 \pi + 64 \pi = 200 \pi \) см².

Ответ: \( 200 \pi \) см².