Прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 и катетом 6 вращают вокруг меньшего катета. Найдите периметр осевого сечения полученного тела вращения.

Решение:

При вращении прямоугольного треугольника вокруг меньшего катета получается конус.

Меньший катет будет высотой конуса, а больший катет — радиусом основания конуса.

Дано:

• Гипотенуза \( c = 10 \)
• Катет \( a = 6 \)

Найдем больший катет \( b \) по теореме Пифагора:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]\[ 10^2 = 6^2 + b^2 \]\[ 100 = 36 + b^2 \]\[ b^2 = 100 - 36 \]\[ b^2 = 64 \]\[ b = \sqrt{64} \]\[ b = 8 \]

Осевое сечение конуса

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр основания конуса, а боковыми сторонами — образующие конуса.

• Высота конуса \( h = a = 6 \)
• Радиус основания конуса \( r = b = 8 \)
• Диаметр основания конуса \( d = 2r = 2 \cdot 8 = 16 \)
• Образующая конуса \( l = c = 10 \)

Периметр осевого сечения (равнобедренного треугольника) равен сумме длины основания (диаметра) и двух боковых сторон (образующих):

\[ P = d + 2l \]\[ P = 16 + 2 \cdot 10 \]\[ P = 16 + 20 \]\[ P = 36 \]

Ответ: 36.