Прямоугольный треугольник. В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = √28, sin ∠A = √7 / 4. Найдите АС.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, синус угла A определяется как отношение противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB):

\( \sin \angle A = \frac{BC}{AB} \)

Нам дано:

• \( BC = \sqrt{28} \)
• \( \sin \angle A = \frac{\sqrt{7}}{4} \)

Подставим известные значения в формулу:

\( \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{\sqrt{28}}{AB} \)

Теперь найдём длину гипотенузы AB:

\( AB \cdot \sqrt{7} = 4 \cdot \sqrt{28} \)

\( AB = \frac{4 \cdot \sqrt{28}}{\sqrt{7}} \)

Упростим \( \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7} \). Подставим это в выражение для AB:

\( AB = \frac{4 \cdot 2\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = 4 \cdot 2 = 8 \)

Итак, длина гипотенузы AB равна 8.

Теперь, используя теорему Пифагора \( (AC^2 + BC^2 = AB^2) \) или тригонометрические соотношения, найдём длину катета AC.

Используем теорему Пифагора:

\( AC^2 + (\sqrt{28})^2 = 8^2 \)

\( AC^2 + 28 = 64 \)

\( AC^2 = 64 - 28 \)

\( AC^2 = 36 \)

\( AC = \sqrt{36} \)

\( AC = 6 \)

Ответ: AC = 6.