прямой и плоскостью называется угол именно между прямой и любой прямой в плоскости. 83. а) В единичном кубе ABCDABCD найдите угол между прямой DB₁ и плоскостью СС₁D1. 84. а) Дан правильный тетраэдр ABCD. Найдите угол между прямой CD и плоскостью ABD. 85. а) Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Все ребра пирамиды равны. Найдите угол между прямой АС и плоскостью ASB. 86. а) Дана правильная треугольная призма АВСА,В,С₁, все ребра которой равны 1. Точка М - середина ребра ВС. Найдите угол между прямой АМ и плоскостью АВС. 91. a) B основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 4 и ВС=3. Боковое ребро AS перпендикулярно к плоскости основания и равно П. Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.

83. а)

В единичном кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) угол между прямой \(DB_1\) и плоскостью \(CC_1D_1\) равен углу между \(DB_1\) и ее проекцией на эту плоскость. Проекцией \(DB_1\) на плоскость \(CC_1D_1\) является прямая \(D_1C\). Угол \(\angle B_1D_1C\) и будет искомым.

Так как \(B_1D_1C\) - прямоугольный треугольник (\(\angle D_1C B_1 = 90^\circ\)), а \(D_1C = a\) и \(B_1D_1 = a\sqrt{2}\), то \(\tan(\angle B_1D_1C) = \frac{B_1C}{D_1C} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,\).

Следовательно, \(\angle B_1D_1C = \arctan(\frac{1}{\sqrt{2}})\) или приблизительно \(35.26^\circ\).

Ответ: \(\arctan(\frac{1}{\sqrt{2}})\) ≈ 35.26°

84. а)

В правильном тетраэдре \(ABCD\) угол между прямой \(CD\) и плоскостью \(ABD\) можно найти, рассмотрев проекцию прямой \(CD\) на плоскость \(ABD\). Проекцией точки \(C\) на плоскость \(ABD\) является точка \(O\) - центр основания (треугольника \(ABD\)).

Угол между прямой \(CD\) и плоскостью \(ABD\) - это угол \(\angle CDO\).

Так как тетраэдр правильный, все его ребра равны. Пусть ребро равно \(a\). Тогда \(DO\) - это \(\frac{2}{3}\) высоты треугольника \(ABD\), то есть \(DO = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}\).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(CDO\). \(\sin(\angle CDO) = \frac{CO}{CD} = \frac{\frac{a\sqrt{6}}{3}}{a} = \frac{\sqrt{6}}{3}\).

Следовательно, \(\angle CDO = \arcsin(\frac{\sqrt{6}}{3})\) или приблизительно \(54.74^\circ\).

Ответ: \(\arcsin(\frac{\sqrt{6}}{3})\) ≈ 54.74°

85. а)

В правильной четырехугольной пирамиде \(SABCD\) с вершиной \(S\), где все ребра равны, угол между прямой \(AC\) и плоскостью \(ASB\) можно найти следующим образом:

Прямая \(AC\) является диагональю квадрата в основании. Обозначим сторону квадрата как \(a\).

Проекцией \(AC\) на плоскость \(ASB\) будет прямая, лежащая в этой плоскости. Заметим, что диагональ \(AC\) перпендикулярна \(BD\), а плоскость \(ASB\) содержит высоту пирамиды, опущенную из вершины \(S\) на основание. Опустим перпендикуляр из точки \(C\) на плоскость \(ASB\). Пусть это будет точка \(H\).

Угол между \(AC\) и плоскостью \(ASB\) — это угол между \(AC\) и \(AH\).

Треугольник \(ASC\) равнобедренный (\(AS = SC = a\)). Высота, опущенная из \(S\) на \(AC\), является медианой и биссектрисой. Пусть \(M\) - середина \(AC\). Тогда \(SM \perp AC\).

Угол \(\angle SAC\) можно найти, используя косинус теорему в треугольнике \(SAC\). \(\cos(\angle SAC) = \frac{AS^2 + AC^2 - SC^2}{2 \cdot AS \cdot AC} = \frac{a^2 + (a\sqrt{2})^2 - a^2}{2 \cdot a \cdot a\sqrt{2}} = \frac{2a^2}{2a^2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,\).

Следовательно, \(\angle SAC = 45^\circ\).

Так как \(SM\) высота, \(\angle ASM = \frac{1}{2} \angle ASC\). А угол между \(AC\) и плоскостью \(ASB\) равен \(45^\circ\).

Ответ: 45°

86. а)

В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\), где все ребра равны 1, и \(M\) - середина ребра \(BC\), угол между прямой \(A_1M\) и плоскостью \(ABC\) можно найти следующим образом:

Проекцией прямой \(A_1M\) на плоскость \(ABC\) будет прямая \(AM\).

Угол между прямой \(A_1M\) и плоскостью \(ABC\) - это угол \(\angle A_1MA\).

Найдем длину \(AM\). Так как \(M\) - середина \(BC\), то \(BM = MC = \frac{1}{2}\). В треугольнике \(ABM\) известны две стороны и угол между ними (60°), поэтому можно найти \(AM\) по теореме косинусов:

\[AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \cdot AB \cdot BM \cdot \cos(60^\circ) = 1^2 + (\frac{1}{2})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4}\]

Следовательно, \(AM = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

В прямоугольном треугольнике \(A_1AM\) известны \(A_1A = 1\) и \(AM = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Тогда \(\tan(\angle A_1MA) = \frac{A_1A}{AM} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}\,\).

Следовательно, \(\angle A_1MA = \arctan(\frac{2}{\sqrt{3}})\) или приблизительно \(49.11^\circ\).

Ответ: \(\arctan(\frac{2}{\sqrt{3}})\) ≈ 49.11°

91. a)

В основании четырехугольной пирамиды \(SABCD\) лежит прямоугольник \(ABCD\) со сторонами \(AB = 4\) и \(BC = 3\). Боковое ребро \(AS\) перпендикулярно плоскости основания и равно \(\sqrt{11}\). Найдите угол между прямой \(SC\) и плоскостью \(ASB\).

Так как \(AS\) перпендикулярно плоскости основания, то \(AS\) перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости. Значит, \(AS\) перпендикулярно \(AB\) и \(AS\) перпендикулярно \(AD\).

Проекция прямой \(SC\) на плоскость \(ASB\) - это прямая \(SB\).

Угол между прямой \(SC\) и плоскостью \(ASB\) - это угол \(\angle BSC\).

Рассмотрим треугольник \(ABC\). По теореме Пифагора \(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\).

Теперь рассмотрим треугольник \(ASC\). \(SC = \sqrt{AS^2 + AC^2} = \sqrt{(\sqrt{11})^2 + 5^2} = \sqrt{11 + 25} = \sqrt{36} = 6\).

Рассмотрим треугольник \(ASB\). \(SB = \sqrt{AS^2 + AB^2} = \sqrt{(\sqrt{11})^2 + 4^2} = \sqrt{11 + 16} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\).

Теперь рассмотрим треугольник \(BSC\). Найдем косинус угла \(\angle BSC\) по теореме косинусов:

\[\cos(\angle BSC) = \frac{SB^2 + SC^2 - BC^2}{2 \cdot SB \cdot SC} = \frac{(3\sqrt{3})^2 + 6^2 - 3^2}{2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot 6} = \frac{27 + 36 - 9}{36\sqrt{3}} = \frac{54}{36\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Следовательно, \(\angle BSC = \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 30^\circ\).

Ответ: 30°