282. Прямые a и b параллельны. Докажите, что середины всех отрезков XY, где X ∈ a, Y ∈ b, лежат на прямой, параллельной прямым a и b и равноудалённой от этих прямых.

Доказательство: Пусть M – середина отрезка XY, где X лежит на прямой a, Y лежит на прямой b. Проведём через точку M прямую c, параллельную прямым a и b. Докажем, что c является геометрическим местом середин всех отрезков, соединяющих точки прямых a и b. Пусть X' и Y' – другие точки на прямых a и b соответственно, а M' – середина отрезка X'Y'. Проведём через X' и Y' прямые, перпендикулярные к прямой a (и b). Тогда расстояние между a и b равно расстоянию между этими перпендикулярами. Поскольку M и M' – середины отрезков XY и X'Y', то они лежат на прямой, параллельной a и b и находящейся посередине между ними. Следовательно, середины всех отрезков XY лежат на прямой, параллельной a и b и равноудалённой от этих прямых. Что и требовалось доказать.