Прямые a и b пересечены параллельными прямыми AA₁, BB₁, CC₁, причём точки A, B и C лежат на прямой a, а точки A₁, B₁ и C₁ — на прямой b. Докажите, что \(\frac{AB}{BC}=\frac{A_1B_1}{B_1C_1}\).

Обозначим через \(\alpha\) угол между прямыми \(a\) и \(b\). Так как \(AA_1\parallel BB_1\parallel CC_1\), отрезки \(AB\) и \(A_1B_1\) являются сторонами трапеции \(ABB_1A_1\), а отрезки \(BC\) и \(B_1C_1\) — сторонами трапеции \(BCC_1B_1\).

Рассмотрим высоты этих трапеций. Расстояние между параллельными прямыми \(AA_1\) и \(BB_1\) одинаково для обеих трапеций, поэтому соответствующие проекции отрезков \(AB\) и \(A_1B_1\) связаны одним и тем же коэффициентом:

\[A_1B_1=AB\cdot k,\]

где \(k\) зависит только от угла \(\alpha\) между прямыми \(a\) и \(b\). Аналогично,

\[B_1C_1=BC\cdot k.\]

Следовательно,

\[\frac{A_1B_1}{B_1C_1}=\frac{AB\cdot k}{BC\cdot k}=\frac{AB}{BC}.\]

Таким образом,

\[\boxed{\frac{AB}{BC}=\frac{A_1B_1}{B_1C_1}}.\]