Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О В и С. Найдите ВС, если \(\angle OAB = 30^\circ\), АВ = 5 см.
Ответ:
Решение:
Рассмотрим рисунок.
Логика такая:
Краткое пояснение: Так как АВ — касательная к окружности, то угол между радиусом ОВ и касательной АВ равен 90°. Значит, треугольник OAB прямоугольный, и можно использовать тригонометрические функции для нахождения радиуса ОВ. После этого, зная радиус, можно найти сторону ВС.
- Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle OAB\). В нем \(\angle OAB = 30^\circ\). Найдем длину катета ОВ (он же радиус окружности), используя тангенс угла: \[tg(\angle OAB) = \frac{OB}{AB}\] \[tg(30^\circ) = \frac{OB}{5}\] \[OB = 5 \cdot tg(30^\circ)\] \[OB = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3}\] см.
- Так как ОВ и ОС — радиусы одной окружности, то \(OB = OC = \frac{5\sqrt{3}}{3}\) см.
- Рассмотрим треугольник \(\triangle OBC\). Он равнобедренный, так как OB = OC. Так как касательные АВ и АС проведены из одной точки, то AO - биссектриса угла \(\angle BAC\), следовательно, \(\angle BAC= 2 \cdot \angle OAB= 2 \cdot 30^\circ =60^\circ\), \(AB=AC\). \(\angle ABO = \angle ACO = 90^\circ\). В четырехугольнике \(ABOC\) сумма углов равна \(360^\circ\). Следовательно, \(\angle BOC = 360^\circ - \angle ABO - \angle ACO - \angle BAC = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).
- Найдем сторону BC по теореме косинусов: \[BC^2 = OB^2 + OC^2 - 2 \cdot OB \cdot OC \cdot cos(\angle BOC)\] \[BC^2 = (\frac{5\sqrt{3}}{3})^2 + (\frac{5\sqrt{3}}{3})^2 - 2 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{5\sqrt{3}}{3} \cdot cos(120^\circ)\] \[BC^2 = \frac{25 \cdot 3}{9} + \frac{25 \cdot 3}{9} - 2 \cdot \frac{25 \cdot 3}{9} \cdot (-\frac{1}{2})\] \[BC^2 = \frac{75}{9} + \frac{75}{9} + \frac{75}{9} = \frac{225}{9} = 25\] \[BC = \sqrt{25} = 5\] см.
Ответ: ВС = 5 см.
