Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Чему равен угол ВОС, если отрезок ОА = 13 см, а радиус окружности равен 6,5 см?

Рассмотрим данную задачу. У нас есть окружность с центром O, и из точки A проведены две касательные AB и AC к этой окружности. Радиус окружности равен 6,5 см, а расстояние от точки A до центра окружности (OA) равно 13 см. Нам нужно найти угол BOC.

Так как AB и AC - касательные, то радиусы OB и OC перпендикулярны касательным в точках касания B и C соответственно. Это означает, что углы ABO и ACO - прямые (равны 90 градусам).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO. Мы знаем, что OA = 13 см и OB = 6,5 см. Найдем синус угла BAO:

$$\sin(\angle BAO) = \frac{OB}{OA} = \frac{6.5}{13} = \frac{1}{2}$$

Угол, синус которого равен 1/2, равен 30 градусам. Значит, угол BAO = 30°.

Так как треугольники ABO и ACO равны (по катету и гипотенузе), то угол CAO тоже равен 30°. Тогда угол BAC равен сумме углов BAO и CAO:

$$\angle BAC = \angle BAO + \angle CAO = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$$

Теперь рассмотрим четырехугольник ABOC. Сумма углов в четырехугольнике равна 360 градусам. Мы знаем углы ABO и ACO (по 90 градусов каждый) и угол BAC (60 градусов). Можем найти угол BOC:

$$\angle BOC = 360^\circ - \angle ABO - \angle ACO - \angle BAC = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 120^\circ$$

Ответ: 120°