Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1 = 16°, ∠2 = 71°. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Так как прямые \( m \) и \( n \) параллельны, то угол, смежный с углом \( \angle 1 \), равен углу \( \angle 2 \) как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей. Однако, в данном случае, угол, смежный с \( \angle 1 \), и \( \angle 2 \) не являются накрест лежащими. Вместо этого, давайте рассмотрим углы, образующиеся при пересечении секущей с параллельными прямыми.

Угол \( \angle 1 \) и угол, смежный с \( \angle 3 \) (назовем его \( \angle 3' \)), являются односторонними углами при параллельных прямых \( m \) и \( n \) и секущей. Следовательно, \( \angle 1 + \angle 3' = 180^{\circ} \).

Угол \( \angle 3 \) и \( \angle 3' \) являются смежными, поэтому \( \angle 3 + \angle 3' = 180^{\circ} \).

Рассмотрим секущую, которая образует углы \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \). Угол \( \angle 1 \) равен \( 16^{\circ} \). Угол, накрест лежащий с \( \angle 1 \) (или вертикальный с ним), равен \( 16^{\circ} \).

Рассмотрим другой подход. Угол \( \angle 1 \) и угол, который является накрест лежащим к \( \angle 2 \) (пусть это будет \( \angle 4 \)), должны быть равны, если бы секущая была одной и той же. Но секущие разные.

Давайте воспользуемся тем, что \( m \parallel n \). Угол \( \angle 1 \) и угол, лежащий под прямой \( m \) и напротив \( \angle 3 \) (пусть это будет \( \angle 5 \)), являются соответственными углами. Значит, \( \angle 5 = \angle 1 = 16^{\circ} \).

Теперь посмотрим на угол \( \angle 2 \), который равен \( 71^{\circ} \). Этот угол и угол \( \angle 5 \) образуют угол \( \angle 3 \). То есть, \( \angle 3 \) состоит из двух частей. Одна часть равна \( \angle 5 \), а другая часть (пусть будет \( \angle 6 \)) является частью угла \( \angle 2 \).

На самом деле, \( \angle 3 \) является частью суммы двух углов. Угол \( \angle 1 \) и внутренний накрест лежащий угол к \( \angle 1 \) равны \( 16^{\circ} \). Угол \( \angle 2 \) и внутренний накрест лежащий угол к \( \angle 2 \) равны \( 71^{\circ} \).

Правильное решение: Угол \( \angle 1 \) и угол, смежный с \( \angle 3 \) (назовем его \( \alpha \)), являются накрест лежащими при параллельных прямых \( m \) и \( n \) и секущей, если бы секущая была продолжена. Однако, здесь секущие разные.

В данном случае, угол, вертикальный с \( \angle 1 \), равен \( 16^{\circ} \). Этот угол и \( \angle 3 \) являются частями большего угла.

Правильный подход: Угол \( \angle 1 \) и угол, который является внутренним накрест лежащим к \( \angle 1 \), равны \( 16^{\circ} \). Пусть этот угол будет \( \angle 7 \). Угол \( \angle 2 \) и угол, который является внутренним накрест лежащим к \( \angle 2 \), равны \( 71^{\circ} \). Пусть этот угол будет \( \angle 8 \).

Угол \( \angle 3 \) равен сумме угла \( \angle 1 \) и угла, который является накрест лежащим к \( \angle 2 \). Так как \( m \parallel n \), то накрест лежащий угол к \( \angle 2 \) равен \( 71^{\circ} \). Но это не так, поскольку \( \angle 2 \) находится ниже прямой \( n \).

Наиболее очевидный способ: Рассмотрим угол, смежный с \( \angle 1 \). Он равен \( 180^{\circ} - 16^{\circ} = 164^{\circ} \). Этот угол и \( \angle 3 \) являются односторонними, их сумма равна \( 180^{\circ} \). Тогда \( \angle 3 = 180^{\circ} - 164^{\circ} = 16^{\circ} \). Это неверно.

Правильное решение: Угол \( \angle 1 \) равен \( 16^{\circ} \). Угол \( \angle 2 \) равен \( 71^{\circ} \). Так как прямые \( m \) и \( n \) параллельны, то внутренний накрест лежащий угол к \( \angle 1 \) равен \( 16^{\circ} \). Также, внутренний накрест лежащий угол к \( \angle 2 \) равен \( 71^{\circ} \). Угол \( \angle 3 \) равен сумме этих двух внутренних накрест лежащих углов. \( \angle 3 = 16^{\circ} + 71^{\circ} = 87^{\circ} \).

Другой способ: Нарисуем прямую \( k \) через вершину угла \( \angle 3 \), параллельную \( m \) и \( n \). Тогда \( \angle 1 \) будет равен части \( \angle 3 \) (как накрест лежащий), и \( \angle 2 \) будет равен другой части \( \angle 3 \) (как накрест лежащий). Но \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) находятся по разные стороны от секущей.

Правильный подход: Угол \( \angle 1 \) равен \( 16^{\circ} \). Угол \( \angle 2 \) равен \( 71^{\circ} \). Проведем через вершину угла \( \angle 3 \) прямую \( k \), параллельную \( m \) и \( n \). Угол \( \angle 1 \) и одна из частей угла \( \angle 3 \) (назовем ее \( \angle 3_1 \)) являются накрест лежащими при параллельных прямых \( m \) и \( k \) и секущей. Значит, \( \angle 3_1 = \angle 1 = 16^{\circ} \). Угол \( \angle 2 \) и другая часть угла \( \angle 3 \) (назовем ее \( \angle 3_2 \)) являются накрест лежащими при параллельных прямых \( k \) и \( n \) и секущей. Значит, \( \angle 3_2 = \angle 2 = 71^{\circ} \). Угол \( \angle 3 \) равен сумме этих двух частей: \( \angle 3 = \angle 3_1 + \angle 3_2 = 16^{\circ} + 71^{\circ} = 87^{\circ} \).

Ответ: 87.