ПС-28. Решение задач с помощью квадратных уравнений 1. Одно из двух натуральных чисел на 7 меньше дру гого. Найдите эти числа, если их произведение равно 330. 2. Площадь прямоугольного треугольника 180 см² Найдите катеты треугольника, если их сумма 39 см. 3. Найдите стороны прямоугольника, если их разность равна 14 дм, а диагональ прямоугольника 26 дм.

1. Пусть первое число равно $$x$$, тогда второе число равно $$x + 7$$. Из условия известно, что их произведение равно 330. Составим уравнение:

$$x(x+7) = 330$$

$$x^2 + 7x - 330 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-330) = 49 + 1320 = 1369 = 37^2$$

$$x_1 = \frac{-7 + 37}{2} = \frac{30}{2} = 15$$

$$x_2 = \frac{-7 - 37}{2} = \frac{-44}{2} = -22$$ (не подходит, так как число натуральное)

Итак, первое число равно 15, тогда второе число равно $$15 + 7 = 22$$.

Ответ: 15 и 22

2. Пусть первый катет равен $$x$$, тогда второй катет равен $$39 - x$$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Составим уравнение:

$$\frac{1}{2}x(39-x) = 180$$

$$x(39-x) = 360$$

$$39x - x^2 = 360$$

$$x^2 - 39x + 360 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-39)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 360 = 1521 - 1440 = 81 = 9^2$$

$$x_1 = \frac{39 + 9}{2} = \frac{48}{2} = 24$$

$$x_2 = \frac{39 - 9}{2} = \frac{30}{2} = 15$$

Тогда, если первый катет равен 24, то второй катет равен $$39 - 24 = 15$$. Если первый катет равен 15, то второй катет равен $$39 - 15 = 24$$.

Ответ: 15 см и 24 см

3. Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $$x$$ дм, тогда большая сторона равна $$x + 14$$ дм. Диагональ равна 26 дм. По теореме Пифагора:

$$x^2 + (x+14)^2 = 26^2$$

$$x^2 + x^2 + 28x + 196 = 676$$

$$2x^2 + 28x - 480 = 0$$

$$x^2 + 14x - 240 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 196 + 960 = 1156 = 34^2$$

$$x_1 = \frac{-14 + 34}{2} = \frac{20}{2} = 10$$

$$x_2 = \frac{-14 - 34}{2} = \frac{-48}{2} = -24$$ (не подходит, так как длина не может быть отрицательной)

Итак, меньшая сторона равна 10 дм, тогда большая сторона равна $$10 + 14 = 24$$ дм.

Ответ: 10 дм и 24 дм