ПС-6. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями 1. Выполните сложение или вычитание дробей: 1) a) $$\frac{x}{7} + \frac{x}{7}$$; б) $$\frac{m}{2} - \frac{n}{2}$$; в) $$\frac{a}{b} + \frac{2a}{b}$$; г) $$\frac{3x}{y} - \frac{x}{y}$$; д) $$\frac{a+5b}{15} + \frac{2a+4b}{15}$$; е) $$\frac{b+c}{3a} - \frac{b-2c}{3a}$$; ж) $$\frac{3x+2y}{xy} + \frac{2y-5x}{xy}$$; 2) a) $$\frac{5x-7}{6x} - \frac{x-3}{6x} + \frac{2x-8}{6x}$$; г) $$\frac{y^2+2y}{y^2-4y+4} - \frac{4y}{y^2-4y+4}$$; б) $$\frac{8y-5}{7y} - \frac{2y-1}{7y} - \frac{10-y}{7y}$$; д) $$\frac{3z}{z^2-2z} - \frac{8-z}{z^2-2z}$$; в) $$\frac{x-5}{x^2-49} + \frac{12}{x^2-49}$$; 3) a) $$\frac{a+3}{a-1} - \frac{6}{1-a}$$; б) $$\frac{3x+2y}{2x-3y} - \frac{x-8y}{3y-2x}$$; в) $$\frac{b^2}{2b-10} + \frac{25}{10-2b}$$; 4) a) $$\frac{9y+1}{y^2-4} - \frac{y-8}{y^2-4} + \frac{1-7y}{y^2-4}$$; б) $$\frac{3x}{x^3-1} - \frac{4x-1}{1-x^3} - \frac{5}{1-x^3}$$; 2. Найдите значение выражения: 1) $$\frac{2y-7}{y^2-9} - \frac{y-10}{y^2-9}$$ при y=3,1; y=-2; 2) $$\frac{3c-5}{4-c^2} + \frac{3-2c}{c^2-4}$$ при c=3; c=-3. 3. Представьте в виде дроби выражение: a) $$\frac{16-7x}{(x-3)^2} - \frac{13-6x}{(3-x)^2}$$; в) $$\frac{a^2-6b}{(a-2)(b-3)} - \frac{2(a-3b)}{(2-a)(3-b)}$$; б) $$\frac{3(c^2+4)}{(c-2)^3} + \frac{12c}{(2-c)^3}$$; 4. Докажите, что выражение $$\frac{a^2-3}{(a-2)^4} - \frac{5a-1}{(a-2)^4} + \frac{a+6}{(a-2)^4}$$ при всех а≠ 2 принимает положительные значения. 5. Постройте график функции y=$$rac{x^2}{x-3} + \frac{9}{3-x}$$. 6. Представьте в виде суммы или разности целого выражения и дроби дробь: a) $$\frac{x^3+8}{x}$$; б) $$\frac{y^2+6y-1}{y+6}$$; в) $$\frac{p^2+4p+5}{p+2}$$

1. Выполните сложение или вычитание дробей: 1) a) $$\frac{x}{7} + \frac{x}{7} = \frac{x+x}{7} = \frac{2x}{7}$$ б) $$\frac{m}{2} - \frac{n}{2} = \frac{m-n}{2}$$ в) $$\frac{a}{b} + \frac{2a}{b} = \frac{a+2a}{b} = \frac{3a}{b}$$ г) $$\frac{3x}{y} - \frac{x}{y} = \frac{3x-x}{y} = \frac{2x}{y}$$ д) $$\frac{a+5b}{15} + \frac{2a+4b}{15} = \frac{a+5b+2a+4b}{15} = \frac{3a+9b}{15} = \frac{3(a+3b)}{15} = \frac{a+3b}{5}$$ е) $$\frac{b+c}{3a} - \frac{b-2c}{3a} = \frac{b+c-(b-2c)}{3a} = \frac{b+c-b+2c}{3a} = \frac{3c}{3a} = \frac{c}{a}$$ ж) $$\frac{3x+2y}{xy} + \frac{2y-5x}{xy} = \frac{3x+2y+2y-5x}{xy} = \frac{4y-2x}{xy} = \frac{2(2y-x)}{xy}$$ 2) a) $$\frac{5x-7}{6x} - \frac{x-3}{6x} + \frac{2x-8}{6x} = \frac{5x-7-(x-3)+2x-8}{6x} = \frac{5x-7-x+3+2x-8}{6x} = \frac{6x-12}{6x} = \frac{6(x-2)}{6x} = \frac{x-2}{x}$$ г) $$\frac{y^2+2y}{y^2-4y+4} - \frac{4y}{y^2-4y+4} = \frac{y^2+2y-4y}{y^2-4y+4} = \frac{y^2-2y}{(y-2)^2} = \frac{y(y-2)}{(y-2)^2} = \frac{y}{y-2}$$ б) $$\frac{8y-5}{7y} - \frac{2y-1}{7y} - \frac{10-y}{7y} = \frac{8y-5-(2y-1)-(10-y)}{7y} = \frac{8y-5-2y+1-10+y}{7y} = \frac{7y-14}{7y} = \frac{7(y-2)}{7y} = \frac{y-2}{y}$$ д) $$\frac{3z}{z^2-2z} - \frac{8-z}{z^2-2z} = \frac{3z-(8-z)}{z^2-2z} = \frac{3z-8+z}{z^2-2z} = \frac{4z-8}{z(z-2)} = \frac{4(z-2)}{z(z-2)} = \frac{4}{z}$$ в) $$\frac{x-5}{x^2-49} + \frac{12}{x^2-49} = \frac{x-5+12}{x^2-49} = \frac{x+7}{(x-7)(x+7)} = \frac{1}{x-7}$$ 3) a) $$\frac{a+3}{a-1} - \frac{6}{1-a} = \frac{a+3}{a-1} + \frac{6}{a-1} = \frac{a+3+6}{a-1} = \frac{a+9}{a-1}$$ б) $$\frac{3x+2y}{2x-3y} - \frac{x-8y}{3y-2x} = \frac{3x+2y}{2x-3y} + \frac{x-8y}{2x-3y} = \frac{3x+2y+x-8y}{2x-3y} = \frac{4x-6y}{2x-3y} = \frac{2(2x-3y)}{2x-3y} = 2$$ в) $$\frac{b^2}{2b-10} + \frac{25}{10-2b} = \frac{b^2}{2b-10} - \frac{25}{2b-10} = \frac{b^2-25}{2b-10} = \frac{(b-5)(b+5)}{2(b-5)} = \frac{b+5}{2}$$ 4) a) $$\frac{9y+1}{y^2-4} - \frac{y-8}{y^2-4} + \frac{1-7y}{y^2-4} = \frac{9y+1-(y-8)+1-7y}{y^2-4} = \frac{9y+1-y+8+1-7y}{y^2-4} = \frac{y+10}{y^2-4} = \frac{y+10}{(y-2)(y+2)}$$ б) $$\frac{3x}{x^3-1} - \frac{4x-1}{1-x^3} - \frac{5}{1-x^3} = \frac{3x}{x^3-1} + \frac{4x-1}{x^3-1} + \frac{5}{x^3-1} = \frac{3x+4x-1+5}{x^3-1} = \frac{7x+4}{x^3-1} = \frac{7x+4}{(x-1)(x^2+x+1)}$$ 2. Найдите значение выражения: 1) $$\frac{2y-7}{y^2-9} - \frac{y-10}{y^2-9} = \frac{2y-7-(y-10)}{y^2-9} = \frac{2y-7-y+10}{y^2-9} = \frac{y+3}{y^2-9} = \frac{y+3}{(y-3)(y+3)} = \frac{1}{y-3}$$ При $$y=3.1$$: $$\frac{1}{3.1-3} = \frac{1}{0.1} = 10$$ При $$y=-2$$: $$\frac{1}{-2-3} = \frac{1}{-5} = -0.2$$ Ответ: при y=3.1 выражение равно 10, при y=-2 выражение равно -0.2. 2) $$\frac{3c-5}{4-c^2} + \frac{3-2c}{c^2-4} = \frac{3c-5}{4-c^2} - \frac{3-2c}{4-c^2} = \frac{3c-5-(3-2c)}{4-c^2} = \frac{3c-5-3+2c}{4-c^2} = \frac{5c-8}{4-c^2} = \frac{5c-8}{(2-c)(2+c)}$$ При $$c=3$$: $$\frac{5\cdot3-8}{(2-3)(2+3)} = \frac{15-8}{(-1)(5)} = \frac{7}{-5} = -1.4$$ При $$c=-3$$: $$\frac{5\cdot(-3)-8}{(2-(-3))(2+(-3))} = \frac{-15-8}{(2+3)(2-3)} = \frac{-23}{(5)(-1)} = \frac{-23}{-5} = 4.6$$ Ответ: при c=3 выражение равно -1.4, при c=-3 выражение равно 4.6. 3. Представьте в виде дроби выражение: a) $$\frac{16-7x}{(x-3)^2} - \frac{13-6x}{(3-x)^2} = \frac{16-7x}{(x-3)^2} - \frac{13-6x}{(x-3)^2} = \frac{16-7x-(13-6x)}{(x-3)^2} = \frac{16-7x-13+6x}{(x-3)^2} = \frac{3-x}{(x-3)^2} = \frac{-(x-3)}{(x-3)^2} = -\frac{1}{x-3} = \frac{1}{3-x}$$ в) $$\frac{a^2-6b}{(a-2)(b-3)} - \frac{2(a-3b)}{(2-a)(3-b)} = \frac{a^2-6b}{(a-2)(b-3)} - \frac{2(a-3b)}{-(a-2)(-(b-3))} = \frac{a^2-6b}{(a-2)(b-3)} - \frac{2(a-3b)}{(a-2)(b-3)} = \frac{a^2-6b-2(a-3b)}{(a-2)(b-3)} = \frac{a^2-6b-2a+6b}{(a-2)(b-3)} = \frac{a^2-2a}{(a-2)(b-3)} = \frac{a(a-2)}{(a-2)(b-3)} = \frac{a}{b-3}$$ б) $$\frac{3(c^2+4)}{(c-2)^3} + \frac{12c}{(2-c)^3} = \frac{3(c^2+4)}{(c-2)^3} + \frac{12c}{-(c-2)^3} = \frac{3(c^2+4)}{(c-2)^3} - \frac{12c}{(c-2)^3} = \frac{3c^2+12-12c}{(c-2)^3} = \frac{3(c^2-4c+4)}{(c-2)^3} = \frac{3(c-2)^2}{(c-2)^3} = \frac{3}{c-2}$$ 4. Докажите, что выражение $$\frac{a^2-3}{(a-2)^4} - \frac{5a-1}{(a-2)^4} + \frac{a+6}{(a-2)^4} = \frac{a^2-3-(5a-1)+a+6}{(a-2)^4} = \frac{a^2-3-5a+1+a+6}{(a-2)^4} = \frac{a^2-4a+4}{(a-2)^4} = \frac{(a-2)^2}{(a-2)^4} = \frac{1}{(a-2)^2}$$ Так как $$(a-2)^2 > 0$$ при $$a
eq 2$$, то и $$\frac{1}{(a-2)^2} > 0$$. Значит, выражение принимает положительные значения при всех $$a
eq 2$$. 5. Постройте график функции y=$$\frac{x^2}{x-3} + \frac{9}{3-x}$$. Сначала упростим выражение для функции: $$y = \frac{x^2}{x-3} - \frac{9}{x-3} = \frac{x^2-9}{x-3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3$$ Таким образом, $$y = x+3$$ при условии $$x
eq 3$$. Это прямая линия с выколотой точкой в $$x=3$$. Здесь график представляет собой прямую линию $$y = x+3$$ с выколотой точкой при $$x = 3$$, соответствующей значению $$y = 6$$. 6. Представьте в виде суммы или разности целого выражения и дроби дробь: a) $$\frac{x^3+8}{x} = \frac{x^3}{x} + \frac{8}{x} = x^2 + \frac{8}{x}$$ б) $$\frac{y^2+6y-1}{y+6} = \frac{y(y+6)-1}{y+6} = y - \frac{1}{y+6}$$ Деление столбиком:

      y  
 y+6 | y^2 + 6y - 1
     - (y^2 + 6y)
      ----------
              -1

в) $$\frac{p^2+4p+5}{p+2} = \frac{p(p+2)+2(p+2)+1}{p+2} = p+2+\frac{1}{p+2}$$ Деление столбиком:

      p + 2
 p+2 | p^2 + 4p + 5
     - (p^2 + 2p)
      ----------
           2p + 5
         - (2p + 4)
          --------
                1