Пункт 127 36. 1) Докажите, что диагонали параллелограмма разбивают его на четыре равновеликих треугольника. 2) Диагонали трапеции АABCD с основаниями ВС и AD пересе- каются в точке О. Докажите, что треугольники АВО и CDO равновеликие.

1) Докажем, что диагонали параллелограмма разбивают его на четыре равновеликих треугольника.

Пусть дан параллелограмм ABCD, диагонали которого AC и BD пересекаются в точке O.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, AO = OC и BO = OD.

Рассмотрим треугольники AOB и BOC. У них общее основание BO, и высоты, проведенные к этому основанию из точек A и C, равны, так как AO = OC. Следовательно, площади треугольников AOB и BOC равны.

Аналогично, площади треугольников BOC и COD равны, площади треугольников COD и DOA равны.

Таким образом, площади всех четырех треугольников (AOB, BOC, COD и DOA) равны, что и требовалось доказать.

2) Докажем, что диагонали трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O, и треугольники ABO и CDO равновелики.

Рассмотрим треугольники ABC и DBC. У них общее основание BC, и высоты, проведенные к этому основанию из точек A и D, равны, так как BC и AD - основания трапеции, а значит, параллельны. Следовательно, площади треугольников ABC и DBC равны.

Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ABO и BOC. Площадь треугольника DBC равна сумме площадей треугольников CDO и BOC.

Так как площади треугольников ABC и DBC равны, то площади треугольников ABO и CDO также равны, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.