Пункты А и Б, расстояние между которыми 270 км, расположены на прямом участке железной дороги. Из пунктов А и Б одновременно по этой дороге выехали пассажирский и грузовой поезда. Пассажирский поезд идёт с постоянной скоростью 125 км/ч, грузовой - с постоянной скоростью 90 км/ч. Какое расстояние будет между ними через час после начала движения? Найдите все возможные варианты.

Краткая запись:

• Расстояние между пунктами А и Б: 270 км
• Скорость пассажирского поезда (v_п): 125 км/ч
• Скорость грузового поезда (v_г): 90 км/ч
• Время движения (t): 1 час
• Найти: Расстояние между поездами через 1 час (d) — ?

Пошаговое решение:

1. Вариант 1: Поезда движутся навстречу друг другу.
• Шаг 1.1: Находим расстояние, которое проедет пассажирский поезд за 1 час: \( S_п = v_п \cdot t = 125 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 125 \text{ км} \).
• Шаг 1.2: Находим расстояние, которое проедет грузовой поезд за 1 час: \( S_г = v_г \cdot t = 90 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 90 \text{ км} \).
• Шаг 1.3: Определяем, какое расстояние они преодолели вместе: \( S_{общ} = S_п + S_г = 125 \text{ км} + 90 \text{ км} = 215 \text{ км} \).
• Шаг 1.4: Находим оставшееся расстояние между поездами: \( d_1 = 270 \text{ км} - S_{общ} = 270 \text{ км} - 215 \text{ км} = 55 \text{ км} \).
2. Вариант 2: Поезда движутся в одном направлении (из А в Б и из Б в А, но с одного пункта).
• Шаг 2.1: Предположим, что оба поезда выехали из пункта А в одном направлении (пассажирский быстрее, поэтому он будет удаляться от грузового).
• Шаг 2.2: Находим относительную скорость поездов: \( v_{отн} = v_п - v_г = 125 \text{ км/ч} - 90 \text{ км/ч} = 35 \text{ км/ч} \).
• Шаг 2.3: Находим расстояние, на которое увеличится расстояние между ними за 1 час: \( d_2 = v_{отн} \cdot t = 35 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 35 \text{ км} \).
• Шаг 2.4: Так как начальное расстояние между пунктами А и Б было 270 км, то расстояние между поездами будет: \( d_2 = 270 \text{ км} + 35 \text{ км} = 305 \text{ км} \).
• Примечание: Если предположить, что поезда выехали из разных пунктов (А и Б) и движутся в одном направлении (например, оба в сторону пункта В, который дальше от Б, чем А), то расстояние между ними будет равно разности их пройденных путей, добавленной к начальному расстоянию, либо начальному расстоянию, уменьшенному на эту разность, если более быстрый поезд догоняет медленный. Однако, формулировка «Из пунктов А и Б одновременно по этой дороге выехали...» подразумевает два основных сценария: навстречу друг другу или в одном направлении, но из разных пунктов. Если они едут в одном направлении из А и Б, то расстояние между ними через час будет 270 + (125-90) = 305 км, или 270 - (125-90) = 235 км, если пассажирский догоняет грузовой. Но поскольку они выехали из А и Б, то наиболее логичными вариантами являются встречное движение или движение в одном направлении из одного пункта. В контексте задачи, если они едут из А и Б, то это либо встречное движение, либо движение в сторону друг друга (что приведет к 55 км), либо движение в одном направлении друг от друга (что даст 305 км). Однако, формулировка «из пунктов А и Б» часто подразумевает движение НАВСТРЕЧУ друг другу. Поэтому, второй вариант с 35 км отностительной скорости, когда они движутся в одном направлении, более вероятно подразумевает, что оба выехали из одного пункта (например, А), а Б — это просто ориентир. Учитывая, что нужно найти все возможные варианты, мы рассмотрим оба сценария: движение навстречу друг другу и движение в одном направлении из одного пункта.

Ответ: 55 км (при движении навстречу друг другу) или 305 км (при движении в одном направлении из одного пункта).