3. Пусть a - 1/a = 2/3. Найти: a) a² + 1/a² б) a³ - 1/a³

Решение:

a) Дано: $$a - \frac{1}{a} = \frac{2}{3}$$. Необходимо найти $$a^2 + \frac{1}{a^2}$$.

Возведём обе части уравнения в квадрат:

$$ \left(a - \frac{1}{a}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 $$ $$ a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = \frac{4}{9} $$ $$ a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} = \frac{4}{9} $$

Перенесём -2 в правую часть уравнения:

$$ a^2 + \frac{1}{a^2} = \frac{4}{9} + 2 $$ $$ a^2 + \frac{1}{a^2} = \frac{4}{9} + \frac{18}{9} $$ $$ a^2 + \frac{1}{a^2} = \frac{22}{9} $$

Ответ: $$\frac{22}{9}$$

б) Дано: $$a - \frac{1}{a} = \frac{2}{3}$$. Необходимо найти $$a^3 - \frac{1}{a^3}$$.

Используем формулу разности кубов:

$$ a^3 - \frac{1}{a^3} = \left(a - \frac{1}{a}\right) \left(a^2 + a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2}\right) $$ $$ a^3 - \frac{1}{a^3} = \left(a - \frac{1}{a}\right) \left(a^2 + 1 + \frac{1}{a^2}\right) $$

Мы знаем, что $$a - \frac{1}{a} = \frac{2}{3}$$ и $$a^2 + \frac{1}{a^2} = \frac{22}{9}$$. Подставим эти значения в формулу:

$$ a^3 - \frac{1}{a^3} = \frac{2}{3} \left(\frac{22}{9} + 1\right) $$ $$ a^3 - \frac{1}{a^3} = \frac{2}{3} \left(\frac{22}{9} + \frac{9}{9}\right) $$ $$ a^3 - \frac{1}{a^3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{31}{9} $$ $$ a^3 - \frac{1}{a^3} = \frac{62}{27} $$

Ответ: $$\frac{62}{27}$$