569 Пусть а, b, c — стороны треугольника, r — радиус вписанной окружности, P — периметр треугольника, S — площадь треугольника. Найдите: а) r, если P= 56, S = 84; б) Ѕ, если Р-144, r = 3,5; в) а, если b = 15, c = 20, r = 2, S = 42.

а) r, если P= 56, S = 84;

Площадь треугольника можно выразить через полупериметр и радиус вписанной окружности: $$S = pr$$, где $$p$$ - полупериметр, $$r$$ - радиус вписанной окружности.

Полупериметр равен половине периметра: $$p = \frac{P}{2} = \frac{56}{2} = 28$$.

Выразим радиус вписанной окружности из формулы площади: $$r = \frac{S}{p} = \frac{84}{28} = 3$$.

Ответ: $$r = 3$$

б) Ѕ, если Р=144, r = 3,5;

Площадь треугольника можно выразить через полупериметр и радиус вписанной окружности: $$S = pr$$, где $$p$$ - полупериметр, $$r$$ - радиус вписанной окружности.

Полупериметр равен половине периметра: $$p = \frac{P}{2} = \frac{144}{2} = 72$$.

Тогда площадь равна: $$S = 72 \cdot 3.5 = 252$$.

Ответ: $$S = 252$$

в) а, если b = 15, c = 20, r = 2, S = 42.

Площадь треугольника можно выразить через полупериметр и радиус вписанной окружности: $$S = pr$$, где $$p$$ - полупериметр, $$r$$ - радиус вписанной окружности.

Полупериметр равен: $$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{a + 15 + 20}{2} = \frac{a + 35}{2}$$.

Тогда площадь равна: $$S = r \cdot \frac{a + 35}{2} = 2 \cdot \frac{a + 35}{2} = a + 35$$.

По условию $$S = 42$$, значит, $$a + 35 = 42$$, откуда $$a = 42 - 35 = 7$$.

Ответ: $$a = 7$$