Пусть А, В, С – события одного вероятностного пространства. Во всех утверждениях, где используются условные вероятности, считайте, что вероятности условий положительны. События А, В, С называются независимыми в совокупности, если для любого непустого набора различных событий из {А, В, С} вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей. События А и В называются условно независимыми при условии события С, если P(A∩B | C) = P(A | C)P(B | C). Через А∆В обозначается симметрическая разность событий: А∆B = \(A\B\) U \(B\A\). Выберите все верные утверждения. Выберите все подходящие ответы из списка Если событие А независимо от события В и независимо от события С, то А обязательно независимо от события В∩С. Если А и В условно независимы при условии С, а также условно независимы при условии СС, то А и В обязательно независимы. Если Р(А | В) = P(A), то события А и В независимы. Если события А, В, С независимы в совокупности, то события А∩ В и С независимы. Если А ⊆ В, и события А и В независимы, то Р(А) = 0 или Р(В) = 1. Если события А и В независимы, то события А и Вс тоже независимы. Если А и В независимы, то для любого события С события А и В условно независимы при условии С. Если событие А независимо от события В, независимо от события С, а события В и С несовместны, то А независимо от события ВUС. Если Р(АДВ) = 0, то для любого события D с P(D) > 0 выполнено P(A | D) = P(B | D). Если Р(А | В) > P(A), то P(B|A) > P(B). Если события А, В, С независимы в совокупности, то А и В условно независимы при условии С. Попарная независимость событий А, В, С влечёт их независимость в совокупности.

Question

Вопрос:

Пусть А, В, С – события одного вероятностного пространства. Во всех утверждениях, где используются условные вероятности, считайте, что вероятности условий положительны. События А, В, С называются независимыми в совокупности, если для любого непустого набора различных событий из {А, В, С} вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей. События А и В называются условно независимыми при условии события С, если P(A∩B | C) = P(A | C)P(B | C). Через А∆В обозначается симметрическая разность событий: А∆B = \(A\B\) U \(B\A\). Выберите все верные утверждения. Выберите все подходящие ответы из списка Если событие А независимо от события В и независимо от события С, то А обязательно независимо от события В∩С. Если А и В условно независимы при условии С, а также условно независимы при условии СС, то А и В обязательно независимы. Если Р(А | В) = P(A), то события А и В независимы. Если события А, В, С независимы в совокупности, то события А∩ В и С независимы. Если А ⊆ В, и события А и В независимы, то Р(А) = 0 или Р(В) = 1. Если события А и В независимы, то события А и Вс тоже независимы. Если А и В независимы, то для любого события С события А и В условно независимы при условии С. Если событие А независимо от события В, независимо от события С, а события В и С несовместны, то А независимо от события ВUС. Если Р(АДВ) = 0, то для любого события D с P(D) > 0 выполнено P(A | D) = P(B | D). Если Р(А | В) > P(A), то P(B|A) > P(B). Если события А, В, С независимы в совокупности, то А и В условно независимы при условии С. Попарная независимость событий А, В, С влечёт их независимость в совокупности.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Проверим каждое утверждение:

Если событие А независимо от события В и независимо от события С, то А обязательно независимо от события В∩С.
Утверждение верно. Если A независим от B и C, то P(A|B)=P(A) и P(A|C)=P(A). Следовательно, P(A|B∩C)=P(A).
Если А и В условно независимы при условии С, а также условно независимы при условии СС, то А и В обязательно независимы.
Утверждение верно. Если A и B условно независимы при C, то P(A|B,C) = P(A|C)P(B|C). Если A и B условно независимы при C^C, то P(A|B,C^C) = P(A|C^C)P(B|C^C). Это следует из общих свойств условной независимости.
Если Р(А | В) = P(A), то события А и В независимы.
Утверждение верно. Это определение независимости событий.
Если события А, В, С независимы в совокупности, то события А∩ В и С независимы.
Утверждение верно. Если A, B, C независимы в совокупности, то P(A∩B∩C) = P(A)P(B)P(C). Из этого следует, что P(A∩B | C) = P(A∩B)P(C) / P(C) = P(A)P(B).
Если А ⊆ В, и события А и В независимы, то Р(А) = 0 или Р(В) = 1.
Утверждение верно. Так как A ⊆ B, то A ∩ B = A. Если A и B независимы, то P(A ∩ B) = P(A)P(B). Следовательно, P(A) = P(A)P(B). Это выполняется, если P(A)=0 или P(B)=1.
Если события А и В независимы, то события А и Вс тоже независимы.
Утверждение верно. Если A и B независимы, то P(A∩B) = P(A)P(B). Из этого следует, что P(A∩B^C) = P(A) - P(A∩B) = P(A) - P(A)P(B) = P(A)(1-P(B)) = P(A)P(B^C).
Если А и В независимы, то для любого события С события А и В условно независимы при условии С.
Утверждение неверно. Это верно только в частных случаях.
Если событие А независимо от события В, независимо от события С, а события В и С несовместны, то А независимо от события ВUС.
Утверждение верно. Так как B и C несовместны, P(B∩C)=0. P(A ∩ (B U C)) = P((A ∩ B) U (A ∩ C)) = P(A ∩ B) + P(A ∩ C) (так как A∩B и A∩C несовместны). Поскольку A независимо от B и C, P(A ∩ B) = P(A)P(B) и P(A ∩ C) = P(A)P(C). Следовательно, P(A ∩ (B U C)) = P(A)P(B) + P(A)P(C) = P(A)(P(B)+P(C)). Также P(B U C) = P(B) + P(C). Значит, P(A ∩ (B U C)) = P(A)P(B U C).
Если Р(АДВ) = 0, то для любого события D с P(D) > 0 выполнено P(A | D) = P(B | D).
Утверждение верно. Р(А∆В) = 0 означает, что A=B. Если A=B, то P(A|D) = P(B|D).
Если Р(А | В) > P(A), то P(B|A) > P(B).
Утверждение верно. Из P(A|B) > P(A) следует P(A∩B)/P(B) > P(A), то есть P(A∩B) > P(A)P(B). Мы знаем, что P(B|A) = P(A∩B)/P(A). Таким образом, P(B|A) > P(A)P(B)/P(A) = P(B).
Если события А, В, С независимы в совокупности, то А и В условно независимы при условии С.
Утверждение верно. Если A, B, C независимы в совокупности, то P(A∩B|C) = P(A∩B)/P(C) = P(A)P(B)/P(C). Также P(A|C)P(B|C) = (P(A)/P(C)) * (P(B)/P(C)) = P(A)P(B)/P(C)^2. Это не всегда равно P(A∩B|C). Однако, если A и B независимы, то P(A∩B|C) = P(A)P(B)/P(C). И P(A|C) = P(A∩C)/P(C) = P(A)P(C)/P(C) = P(A), и P(B|C) = P(B∩C)/P(C) = P(B)P(C)/P(C) = P(B). Тогда P(A|C)P(B|C) = P(A)P(B). И P(A∩B|C) = P(A)P(B)/P(C). Так как A, B, C независимы в совокупности, P(A∩B|C) = P(A)P(B).
Попарная независимость событий А, В, С влечёт их независимость в совокупности.
Утверждение неверно. Это известное контрпример.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11.