Пусть d1 < d2 < d3 < ... — все собственные делители натурального числа n. Какие разложения на простые множители может быть у числа d3? Выберите все возможные варианты. Числа p, q, r — различные простые.

Решение:

Собственные делители числа n — это все его делители, кроме самого числа n. Если d1 < d2 < d3 < ... — это собственные делители натурального числа n, то:

• \( d_1 \) — это наименьший собственный делитель, который всегда равен 1 (если n > 1).
• \( d_2 \) — это наименьший простой делитель числа n. Обозначим его как \( p \).
• \( d_3 \) — это третий наименьший собственный делитель. Он может быть либо квадратом наименьшего простого делителя \( p^2 \), либо следующим простым делителем, если он существует и меньше \( p^2 \).

Возможные варианты для \( d_3 \):

1. \( d_3 = p^2 \): Если наименьший простой делитель \( p \) входит в разложение числа \( n \) со степенью не меньше 2, то \( p^2 \) будет делителем \( n \). Если \( p^2 \) меньше следующего простого делителя \( q \) (то есть \( p^2 < q \)), то \( d_3 = p^2 \). Пример: n = 12. Делители: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Собственные делители: 1, 2, 3, 4, 6. Здесь \( d_1 = 1, d_2 = 2, d_3 = 3 \). Но если n = 20. Делители: 1, 2, 4, 5, 10, 20. Собственные делители: 1, 2, 4, 5, 10. Здесь \( d_1 = 1, d_2 = 2, d_3 = 4 = 2^2 \).

2. \( d_3 = q \): Если наименьший простой делитель \( p \) входит в разложение числа \( n \) только один раз (то есть \( p^1 \)), а следующим по величине простым делителем является \( q \), и \( q < p^2 \) (если \( p^2 \) существует), то \( d_3 = q \). Пример: n = 30. Делители: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Собственные делители: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15. Здесь \( d_1 = 1, d_2 = 2, d_3 = 3 \). Если p=2, q=3, то p^2=4. В данном случае 3 < 4, поэтому d3 = 3 = q.

Выбранные варианты:

• \( p \) — это \( d_2 \), а не \( d_3 \).
• \( p^2 \) — возможный вариант для \( d_3 \).
• \( q \) — возможный вариант для \( d_3 \) (если \( q < p^2 \)).

Простой делитель \( p \) является \( d_2 \), а не \( d_3 \), так как \( d_1 = 1 \) и \( d_2 \) — наименьший простой делитель. \( d_3 \) может быть либо \( p^2 \), либо следующим простым делителем \( q \) (если \( q \) меньше \( p^2 \)).

Ответ: p², q