Пусть дана система уравнений \(\begin{cases} 3x+2y-4z=8 \\ 2x+4y-5z=11 \\ 4x-3y+2z=1 \end{cases}\) тогда выражение \(x+y+z\) равно .... Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных

Решение:

Для решения системы уравнений воспользуемся методом Гаусса. Умножим первое уравнение на 2 и вычтем из второго, чтобы исключить \(y\):

\(2 \times (3x+2y-4z=8) \implies 6x+4y-8z=16\)

\((2x+4y-5z=11) - (6x+4y-8z=16) \implies -4x+3z=-5 \quad (1')\)

Умножим первое уравнение на 3 и прибавим к третьему, чтобы исключить \(y\):

\(3 \times (3x+2y-4z=8) \implies 9x+6y-12z=24\)

\(2 \times (4x-3y+2z=1) \implies 8x-6y+4z=2\)

\((9x+6y-12z=24) + (8x-6y+4z=2) \implies 17x-8z=26 \quad (2')\)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

\(\begin{cases} -4x+3z=-5 \\ 17x-8z=26 \end{cases}\)

Умножим первое уравнение на 8, а второе на 3, чтобы исключить \(z\):

\(8 \times (-4x+3z=-5) \implies -32x+24z=-40\)

\(3 \times (17x-8z=26) \implies 51x-24z=78\)

Сложим полученные уравнения:

\((-32x+24z=-40) + (51x-24z=78) \implies 19x = 38 \implies x = 2\)

Подставим \(x=2\) в уравнение \(-4x+3z=-5\):

\(-4(2)+3z=-5 \implies -8+3z=-5 \implies 3z=3 \implies z=1\)

Подставим \(x=2\) и \(z=1\) в первое уравнение системы \(3x+2y-4z=8\):

\(3(2)+2y-4(1)=8 \implies 6+2y-4=8 \implies 2y+2=8 \implies 2y=6 \implies y=3\)

Теперь найдем значение выражения \(x+y+z\):

\(x+y+z = 2+3+1 = 6\)

Ответ: 6.