Пусть E(X)= 90.0, E(Y)= 32.0, D(X)= 15.0, D(Y)= 18.0, Cov(X,Y)= 3.0. Найдите: E(2026(X + Y)^2).

Решение:

Для нахождения математического ожидания \( E(2026(X + Y)^2) \), воспользуемся свойствами математического ожидания и дисперсии.

1. Развернем квадрат суммы: \( (X+Y)^2 = X^2 + 2XY + Y^2 \).
2. Тогда \( E(2026(X + Y)^2) = 2026 E(X^2 + 2XY + Y^2) \).
3. Используя свойство линейности математического ожидания: \( E(2026(X^2 + 2XY + Y^2)) = 2026 E(X^2) + 2 E(XY) + E(Y^2)) \).
4. Нам нужно найти \( E(X^2) \), \( E(XY) \) и \( E(Y^2) \).
5. Мы знаем, что \( D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \). Следовательно, \( E(X^2) = D(X) + (E(X))^2 \).
6. \( E(X^2) = 15.0 + (90.0)^2 = 15.0 + 8100.0 = 8115.0 \).
7. Аналогично, \( E(Y^2) = D(Y) + (E(Y))^2 \).
8. \( E(Y^2) = 18.0 + (32.0)^2 = 18.0 + 1024.0 = 1042.0 \).
9. Также известно, что \( Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) \). Следовательно, \( E(XY) = Cov(X,Y) + E(X)E(Y) \).
10. \( E(XY) = 3.0 + (90.0)(32.0) = 3.0 + 2880.0 = 2883.0 \).
11. Подставим найденные значения обратно в выражение: \( E(2026(X + Y)^2) = 2026 (E(X^2) + 2E(XY) + E(Y^2)) \).
12. \( E(2026(X + Y)^2) = 2026 (8115.0 + 2(2883.0) + 1042.0) \).
13. \( E(2026(X + Y)^2) = 2026 (8115.0 + 5766.0 + 1042.0) \).
14. \( E(2026(X + Y)^2) = 2026 (14923.0) \).
15. \( E(2026(X + Y)^2) = 30233798.0 \).

Ответ: 30233798.0