Пусть N это произведение 20 сомножителей 1! 2! 3!.....20!, где n! = 1·2·3.....n - произведение целых чисел от 1 до n. На какое наименьшее натуральное число нужно домножить N, чтобы получился полный квадрат? Варианты ответа: A) 7 Б) 14 B) 21 Г) 70

Для того чтобы произведение стало полным квадратом, необходимо, чтобы каждый простой множитель входил в разложение произведения в четной степени.

Разложим 1! * 2! * 3! * ... * 20! на простые множители и посмотрим, каких простых множителей не хватает до четной степени.

Заметим, что в произведении 1! * 2! * 3! * ... * 20! число 1 входит 20 раз, число 2 входит (19 + 18 + 17 +...+1) раз, число 3 входит (18 + 17 + ...+ 1) раз и т.д. Другими словами, число n входит (21 - n) раз.

Сумма чисел от 1 до 19 равна 19*20/2 = 190. Это четное число, поэтому двойка уже входит в четной степени.

Теперь посмотрим, сколько раз входит каждая цифра в произведение. Для этого посчитаем сумму чисел от 1 до (21-n) для каждого n от 1 до 20: 1: 20 раз 2: 19 раз 3: 18 раз 4: 17 раз 5: 16 раз 6: 15 раз 7: 14 раз 8: 13 раз 9: 12 раз 10: 11 раз 11: 10 раз 12: 9 раз 13: 8 раз 14: 7 раз 15: 6 раз 16: 5 раз 17: 4 раз 18: 3 раз 19: 2 раз 20: 1 раз

Значит, нечетное количество раз входят числа: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20. Разложим их на простые множители:

• 2 = 2
• 4 = 2²
• 6 = 2 * 3
• 8 = 2³
• 10 = 2 * 5
• 12 = 2² * 3
• 14 = 2 * 7
• 16 = 2⁴
• 18 = 2 * 3²
• 20 = 2² * 5

Считаем количество каждого простого множителя:

• 2: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8 раз
• 3: 1 + 1 = 2 раза
• 5: 1 + 1 = 2 раза
• 7: 1 раз

Из простых множителей не хватает только числа 7.

Ответ: А) 7