Пусть на множестве М=[1, 2, 3, 4, 5, 6] определено отношение R- «иметь общий делитель, отличный от 1». Задать матрицами отношения R, R^2, R^-1

Решение:

Отношение R задано как «иметь общий делитель, отличный от 1» на множестве M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Составим матрицу отношения R. Пара (a, b) принадлежит R, если у чисел a и b есть общий делитель, отличный от 1.

Матрица отношения R:

R = [[0, 1, 1, 1, 0, 1], [1, 0, 0, 1, 0, 0], [1, 0, 0, 0, 0, 1], [1, 1, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0], [1, 0, 1, 0, 0, 0]]

Пояснение:

• (1, x): единственный общий делитель 1, кроме 1. Нет.
• (2, 3): нет общего делителя > 1.
• (2, 4): общий делитель 2.
• (2, 5): нет общего делителя > 1.
• (2, 6): общий делитель 2.
• (3, 4): нет общего делителя > 1.
• (3, 5): нет общего делителя > 1.
• (3, 6): общий делитель 3.
• (4, 5): нет общего делителя > 1.
• (4, 6): общий делитель 2.
• (5, 6): нет общего делителя > 1.
• (x, x): всегда есть общий делитель x (кроме 1).

Матрица R² (композиция отношения R с самим собой):

R^2 = [[1, 0, 0, 0, 0, 1], [0, 1, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 1, 1, 0, 0], [0, 0, 0, 1, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0, 0, 0]]

Матрица R^-1 (обратное отношение):

Отношение R не является симметричным, так как (2, 3) не принадлежит R, но (3, 2) тоже не принадлежит R. Отношение R симметрично, так как если a и b имеют общий делитель > 1, то и b и a имеют тот же общий делитель. Следовательно, R-1 = R.

R-1 = [[0, 1, 1, 1, 0, 1], [1, 0, 0, 1, 0, 0], [1, 0, 0, 0, 0, 1], [1, 1, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0], [1, 0, 1, 0, 0, 0]]

Ответ:

Матрица R: [[0, 1, 1, 1, 0, 1], [1, 0, 0, 1, 0, 0], [1, 0, 0, 0, 0, 1], [1, 1, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0], [1, 0, 1, 0, 0, 0]]

Матрица R²: [[1, 0, 0, 0, 0, 1], [0, 1, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 1, 1, 0, 0], [0, 0, 0, 1, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0, 0, 0]]

Матрица R^-1: [[0, 1, 1, 1, 0, 1], [1, 0, 0, 1, 0, 0], [1, 0, 0, 0, 0, 1], [1, 1, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0], [1, 0, 1, 0, 0, 0]]