Пусть x – положительное число, удовлетворяющее уравнению: x² + [x] = 115, где [x] – целая часть числа x. Найдите x².

Определим целую часть числа x как [x] = n, где n - целое число. Тогда x можно представить как x = n + α, где 0 ≤ α < 1. Уравнение примет вид: $$x^2 + n = 115$$ $$x^2 = 115 - n$$ Так как x > 0, то x = √(115 - n). Также, так как n - целая часть x, то n = [x]. Таким образом, n = [√(115 - n)]. Подберем n, чтобы выполнялось это равенство. Если n = 10, то √(115 - 10) = √105 ≈ 10.25, [√105] = 10. То есть, n = 10 подходит. Тогда x² = 115 - n = 115 - 10 = 105.

Проверим:

x = √105 ≈ 10.25

[x] = 10

x² + [x] = 105 + 10 = 115

Следовательно, x² = 105.

Ответ: 105