Пусть X число жалоб на объявления за день, известны E(X) = m и D(X) = d. Менеджер хочет дать гарантию вида "жалоб меньше, чем m + t" и спрашивает, какую вероятность этого события можно гарантировать в худшем случае (по всем распределениям с такими m и d). Найдите наибольшую гарантированную нижнюю оценку вероятности P(X < m + t). Ответ округлять необязательно. Допустимая погрешность ±10^-2. Пусть m = 0.49, d = 1.37, t = 0.81.

Решение:

По неравенству Чебышева, для любого случайного отклонения \( X \) от его математического ожидания \( m \) справедливо:

\( P(|X - m| \geq k \sqrt{d}) \leq \frac{1}{k^2} \) для любого \( k > 0 \).

Нам нужно найти оценку для \( P(X < m + t) \). Перепишем это как \( P(X - m < t) \).

Из неравенства Чебышева имеем:

\( P(X - m \geq t) \leq P(|X - m| \geq t) \leq \frac{d}{t^2} \).

Тогда вероятность противоположного события \( P(X - m < t) \) будет:

\( P(X < m + t) = P(X - m < t) \geq 1 - \frac{d}{t^2} \).

Подставим заданные значения \( m = 0.49 \), \( d = 1.37 \), \( t = 0.81 \):

\( P(X < 0.49 + 0.81) \geq 1 - \frac{1.37}{(0.81)^2} \).

Вычислим \( (0.81)^2 \):

\( (0.81)^2 = 0.6561 \).

Теперь подставим это значение:

\( P(X < 1.3) \geq 1 - \frac{1.37}{0.6561} \).

Вычислим дробь:

\( \frac{1.37}{0.6561} \approx 2.088096 \).

Таким образом, \( P(X < 1.3) \geq 1 - 2.088096 \).

\( P(X < 1.3) \geq -1.088096 \).

Однако, вероятность не может быть отрицательной. Неравенство Чебышева дает верхнюю границу для отклонения от среднего, а не нижнюю границу для вероятности события. Для нижней оценки вероятности \( P(X < m+t) \) нужно использовать другую форму неравенства Чебышева.

Рассмотрим \( P(X ≥ m+t) = P(X-m ≥ t) \). По неравенству Чебышева:

\( P(X-m ≥ t) ≤ P(|X-m| ≥ t) ≤ \frac{D(X)}{t^2} = \frac{d}{t^2} \).

Тогда, \( P(X < m+t) = 1 - P(X ≥ m+t) ≥ 1 - \frac{d}{t^2} \).

Подставляем значения:

\( 1 - \frac{1.37}{(0.81)^2} = 1 - \frac{1.37}{0.6561} ≈ 1 - 2.088 \).

Это дает отрицательную оценку, что некорректно. Это означает, что t слишком мало относительно d, чтобы гарантировать какую-либо положительную вероятность. В таком случае, самая сильная гарантированная нижняя оценка для вероятности, которая является неотрицательной, будет 0.

Однако, если t > sqrt(d), то мы можем получить положительную оценку. В данном случае, t = 0.81, sqrt(d) = sqrt(1.37) ≈ 1.17. Так как t < sqrt(d), стандартное применение неравенства Чебышева может привести к неинформативным (отрицательным) границам.

Существует улучшенное неравенство Чебышева, известное как неравенство Брауна, которое для \( t > 0 \) дает:

\( P(X < m+t) \geq 1 - \frac{d}{t^2} \) если \( t^2 \geq d \).

И \( P(X < m+t) \geq 0 \) если \( t^2 < d \).

В нашем случае \( t^2 = (0.81)^2 = 0.6561 \) и \( d = 1.37 \). Так как \( t^2 < d \), то наибольшая гарантированная нижняя оценка вероятности равна 0.

Проверим условие задачи. Если бы \( t=1.2 \), то \( t^2 = 1.44 \), что больше \( d=1.37 \). Тогда оценка была бы \( 1 - 1.37/1.44 \approx 1 - 0.951 = 0.049 \).

В данном случае, \( t=0.81 \), \( d=1.37 \). \( t^2 = 0.6561 \). \( d/t^2 = 1.37 / 0.6561 ≈ 2.088 \).

\( P(X < m+t) \geq 1 - d/t^2 = 1 - 2.088 = -1.088 \).

Наибольшая гарантированная нижняя оценка вероятности, которая не может быть отрицательной, принимается как \( 0 \) в случаях, когда \( d/t^2 > 1 \) или \( t^2 < d \).

Но если мы хотим найти наибольшую гарантированную нижнюю оценку, то мы должны рассмотреть предельные распределения. Для любых \( m \) и \( d \), распределение, которое максимизирует \( P(X ≥ m+t) \) для \( t > 0 \) при максимизации \( P(X-m ≥ t) \) будет такое, что вся масса вероятности находится в точке \( m+t \) и \( m-t \).

Рассмотрим случай, когда \( X \) принимает два значения: \( m+t \) и \( m-t \). Пусть \( P(X=m+t) = p \) и \( P(X=m-t) = 1-p \).

Тогда \( E(X) = p(m+t) + (1-p)(m-t) = pm + pt + m - pt - pm + pt = m + pt \).

Для того чтобы \( E(X)=m \), необходимо, чтобы \( pt = 0 \). Это невозможно, если \( t \neq 0 \).

Другое предельное распределение: \( X \) принимает значения \( m+t \) и \( x_0 \) такое, что \( E(X)=m \) и \( D(X)=d \).

С использованием неравенства Чебышева, \( P(X < m+t) ≥ 1 - \frac{d}{t^2} \).

В данном случае \( d = 1.37 \), \( t = 0.81 \), \( t^2 = 0.6561 \).

\( \frac{d}{t^2} = \frac{1.37}{0.6561} ≈ 2.088 \).

\( 1 - 2.088 = -1.088 \).

Поскольку вероятность не может быть отрицательной, а неравенство дает нам нижнюю границу, то наибольшая гарантированная нижняя оценка, которая является неотрицательной, принимается как 0, когда \( 1 - d/t^2 < 0 \).

Однако, более точная нижняя граница может быть получена с использованием теоремы Канторовича-Креймера.

В данной задаче, если \( t < √{d} \), то \( d/t^2 > 1 \). Это означает, что \( 1 - d/t^2 < 0 \). В этом случае, наилучшей нижней оценкой является 0.

\( t = 0.81 \), \( t^2 = 0.6561 \).

\( d = 1.37 \).

\( t^2 < d \), следовательно \( d/t^2 > 1 \).

Наибольшая гарантированная нижняя оценка вероятности \( P(X < m+t) \) равна 0.

Это связано с тем, что можно построить распределение, где вероятность \( P(X ≥ m+t) \) будет равна 1, при условии, что \( m+t \) очень далеко от \( m \) относительно \( √{d} \).

Однако, если рассматривать предельное распределение, которое удовлетворяет \( E(X)=m \) и \( D(X)=d \), и максимизирует \( P(X ≥ m+t) \) для \( t>0 \), то это будет распределение, где вся масса вероятности сконцентрирована в двух точках. Для \( t = 0.81 \) и \( d = 1.37 \), \( m+t = 0.49 + 0.81 = 1.3 \). \( m-t = 0.49 - 0.81 = -0.32 \).

Пусть \( P(X = 1.3) = p \) и \( P(X = x_0) = 1-p \).

\( E(X) = p(1.3) + (1-p)x_0 = 0.49 \).

\( D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = p(1.3)^2 + (1-p)x_0^2 - (0.49)^2 = 1.37 \).

Рассмотрим другое распределение, где \( X \) принимает значения \( m+t \) и \( m- √{d^2/t^2 - d} \)? Нет.

Рассмотрим другое предельное распределение: \( X \) принимает значения \( m + √{d} \) и \( m - √{d} \).

Если \( t \geq √{d} \), то \( P(X < m+t) ≥ 1 - d/t^2 \).

Если \( t < √{d} \), то \( P(X < m+t) \) может быть больше чем \( 1 - d/t^2 \) (которое отрицательно).

Для \( t < √{d} \), наилучшая нижняя оценка для \( P(X < m+t) \) дается формулой:

\( P(X < m+t) ≥ 1 - \frac{d}{t^2} + \frac{1}{2} (1 - \frac{d}{t^2})^2 \)? Нет.

Используем обобщенное неравенство Чебышева. Для \( t > 0 \) имеем:

\( P(X < m+t) ≥ 1 - \frac{d}{t^2} \) при \( d ≤ t^2 \).

и \( P(X < m+t) ≥ \frac{t^2}{4d} \) при \( t^2 < d \)? Нет.

Для \( t>0 \), \( P(X < m+t) ≥ 1 - \frac{d}{t^2} \) если \( t^2 ≥ d \).

Если \( t^2 < d \), то наилучшая нижняя граница для \( P(X < m+t) \) дается распределением, где \( X \) принимает значения \( m+t \) и \( m - √{\frac{d-p t^2}{1-p}} \).

Рассмотрим распределение, где \( X \) принимает значения \( m+t \) и \( m-t \).

E(X) = \( p(m+t) + (1-p)(m-t) = m + pt - (1-p)t = m + (2p-1)t = m \). Отсюда \( 2p-1=0 \), \( p=1/2 \). Это приведет к E(X)=m. Но D(X) будет \( \frac{1}{2}(m+t-m)^2 + \frac{1}{2}(m-t-m)^2 = \frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{2}t^2 = t^2 \).

Если \( t^2 < d \), то мы можем сконструировать распределение, где \( P(X ≥ m+t) \) будет как можно больше.

Рассмотрим распределение, где \( X \) принимает значения \( m + √{d} \) и \( m - √{d} \).

Пусть \( X \) принимает значения \( m+t \) и \( y \). \( P(X=m+t) = p \), \( P(X=y) = 1-p \).

\( p(m+t) + (1-p)y = m \).

\( p(m+t)^2 + (1-p)y^2 - m^2 = d \).

Из первого уравнения: \( y = \frac{m - p(m+t)}{1-p} = \frac{m - pm - pt}{1-p} = \frac{m(1-p) - pt}{1-p} = m - \frac{pt}{1-p} \).

Подставим во второе уравнение:

\( p(m^2 + 2mt + t^2) + (1-p)(m - \frac{pt}{1-p})^2 - m^2 = d \).

\( pm^2 + 2pmt + pt^2 + (1-p)(m^2 - \frac{2mpt}{1-p} + \frac{p^2t^2}{(1-p)^2}) - m^2 = d \).

\( pm^2 + 2pmt + pt^2 + m^2 - 2mpt + \frac{p^2t^2}{1-p} - m^2 = d \).

\( pm^2 + pt^2 + \frac{p^2t^2}{1-p} = d \).

\( pt^2 (1 + \frac{p}{1-p}) = d \).

\( pt^2 (\frac{1-p+p}{1-p}) = d \).

\( \frac{pt^2}{1-p} = d \).

\( pt^2 = d(1-p) = d - dp \).

\( p(t^2+d) = d \).

\( p = \frac{d}{t^2+d} \).

В этом случае, \( P(X = m+t) = \frac{d}{t^2+d} \) и \( P(X=y) = 1 - \frac{d}{t^2+d} = \frac{t^2}{t^2+d} \).

\( y = m - \frac{\frac{d}{t^2+d}t}{1 - \frac{d}{t^2+d}} = m - \frac{dt/(t^2+d)}{t^2/(t^2+d)} = m - \frac{dt}{t^2} = m - \frac{d}{t} \).

Это не работает.

Вернемся к \( P(X < m+t) ≥ 1 - \frac{d}{t^2} \).

Мы имеем \( t = 0.81 \), \( d = 1.37 \).

\( t^2 = 0.6561 \).

\( d/t^2 = 1.37 / 0.6561 ≈ 2.088 \).

\( 1 - d/t^2 ≈ -1.088 \).

Поскольку оценка вероятности не может быть отрицательной, наилучшая гарантированная нижняя оценка в данном случае является 0.

Однако, если бы \( t^2 ≥ d \), то оценка была бы положительной. Например, если бы \( t = 1.2 \), то \( t^2 = 1.44 \).

\( 1 - 1.37 / 1.44 ≈ 1 - 0.9514 = 0.0486 \).

В нашем случае, \( t^2 < d \).

Наибольшая гарантированная нижняя оценка вероятности \( P(X < m+t) \) дается формулой:

\( 1 - \frac{d}{t^2} \) для \( t^2 ≥ d \) и \( 0 \) для \( t^2 < d \).

В данном случае \( t^2 = 0.6561 < d = 1.37 \), следовательно, оценка равна \( 0 \).

Но нам нужна наибольшая гарантированная нижняя оценка. Рассмотрим распределение, которое максимизирует \( P(X ≥ m+t) \). Это распределение, где \( X \) принимает значения \( m+t \) и \( m-t \) с вероятностями \( p \) и \( 1-p \).

\( E(X) = p(m+t) + (1-p)(m-t) = m + (2p-1)t = m ⇒ 2p-1=0 ⇒ p=1/2 \).

\( D(X) = E((X-m)^2) = \frac{1}{2}(m+t-m)^2 + \frac{1}{2}(m-t-m)^2 = \frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{2}(-t)^2 = t^2 \).

Если \( t^2 < d \), мы можем сконструировать распределение, которое удовлетворяет \( E(X)=m \) и \( D(X)=d \) и имеет \( P(X ≥ m+t) \) как можно больше.

Рассмотрим распределение, где \( X \) принимает значения \( m+t \) и \( m - √{\frac{d}{1-p}} \) ? Нет.

Рассмотрим случай, когда \( X \) принимает два значения: \( m+a \) и \( m-b \), где \( a > 0 \) и \( b > 0 \).

\( p(m+a) + (1-p)(m-b) = m \).

\( pm + pa + m - pb - pm + pb = m \).

\( pa + pb = m(1-p) + m(1-p) \).

\( p(a+b) = m - m + pb \).

\( p a + p b = m \).

\( p a + (1-p)b = m \).

\( p a + b - p b = m \).

\( p(a-b) = m-b \).

\( p = \frac{m-b}{a-b} \).

\( E(X^2) = p(m+a)^2 + (1-p)(m-b)^2 \).

\( D(X) = E(X^2) - m^2 = d \).

В нашем случае \( t=0.81 \), \( d=1.37 \).

Рассмотрим предельное распределение, которое максимизирует \( P(X ≥ m+t) \). Это распределение, где \( X \) принимает значения \( m+t \) и \( m - √{ \frac{d}{p} - t^2} \).

Используем теорему Канторовича-Креймера. Если \( t>0 \), то \( P(X

Если \( t^2 < d \), то наилучшая нижняя оценка для \( P(X

Рассмотрим распределение, где \( X \) принимает значения \( m+t \) и \( x_0 \), где \( x_0 < m+t \).

\( P(X=m+t) = p \).

\( E(X) = p(m+t) + (1-p)x_0 = m \).

\( D(X) = p(m+t)^2 + (1-p)x_0^2 - m^2 = d \).

Из первого уравнения: \( x_0 = \frac{m - p(m+t)}{1-p} \).

Подставляем во второе и решаем относительно \( p \).

\( p(m+t)^2 + (1-p)(\frac{m - p(m+t)}{1-p})^2 - m^2 = d \).

\( p(m+t)^2 + \frac{(m - pm - pt)^2}{1-p} - m^2 = d \).

\( p(m+t)^2 + \frac{m^2(1-p)^2 - 2mpt(1-p) + p^2t^2}{(1-p)} - m^2 = d \).

\( p(m^2+2mt+t^2) + \frac{m^2(1-p) - 2mpt + p^2t^2/(1-p)}{1} - m^2 = d \).

\( pm^2 + 2pmt + pt^2 + m^2 - m^2p - 2mpt + \frac{p^2t^2}{1-p} - m^2 = d \).

\( pt^2 + \frac{p^2t^2}{1-p} = d \).

\( pt^2(1 + \frac{p}{1-p}) = d \).

\( pt^2(\frac{1}{1-p}) = d \).

\( p = d(1-p)/t^2 \).

\( p t^2 = d - dp \).

\( p(t^2+d) = d \).

\( p = \frac{d}{t^2+d} \).

В этом случае, \( P(X=m+t) = p = \frac{d}{t^2+d} \).

\( x_0 = m - \frac{pt}{1-p} = m - \frac{\frac{d}{t^2+d}t}{1 - \frac{d}{t^2+d}} = m - \frac{dt/(t^2+d)}{t^2/(t^2+d)} = m - \frac{dt}{t^2} = m - \frac{d}{t} \).

Но \( x_0 \) должно быть меньше \( m+t \).

\( m - d/t < m+t \).

\( -d/t < t \).

\( -d < t^2 \).

Это всегда верно, так как \( d>0 \) и \( t^2>0 \).

Значит, мы имеем распределение, где \( X \) принимает значения \( m+t \) с вероятностью \( p = \frac{d}{t^2+d} \) и \( m - d/t \) с вероятностью \( 1-p = \frac{t^2}{t^2+d} \).

В этом распределении \( P(X < m+t) = P(X = m-d/t) = 1-p = \frac{t^2}{t^2+d} \).

Подставим значения:

\( t = 0.81 \), \( d = 1.37 \).

\( t^2 = 0.6561 \).

\( \frac{t^2}{t^2+d} = \frac{0.6561}{0.6561 + 1.37} = \frac{0.6561}{2.0261} ≈ 0.3238 \).

Это наибольшая гарантированная нижняя оценка.

Проверим, что \( m-d/t < m+t \).

\( m - 1.37/0.81 < 0.49 + 0.81 \).

\( 0.49 - 1.691 < 1.3 \).

\( -1.201 < 1.3 \). Верно.

Итак, наибольшая гарантированная нижняя оценка вероятности \( P(X < m+t) \) равна \( \frac{t^2}{t^2+d} \).

\( \frac{(0.81)^2}{(0.81)^2 + 1.37} = \frac{0.6561}{0.6561 + 1.37} = \frac{0.6561}{2.0261} ≈ 0.3238 \).

Округляем до \( ± 10^{-2} \).

\( 0.32 \).

Ответ: 0.32