Пусть X, Y и Z — произвольные точки. Докажите, что векторы \(\vec p=\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{ZX}+\overrightarrow{YZ}\), \(\vec q=(\overrightarrow{XY}-\overrightarrow{XZ})+\overrightarrow{YZ}\) и \(\vec r=(\overrightarrow{ZY}-\overrightarrow{XY})-\overrightarrow{ZX}\) нулевые.

Используем правило: сумма векторов, последовательно соединяющих точки замкнутого контура, равна нулевому вектору.

Для первого вектора:

\[\vec p=\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{ZX}+\overrightarrow{YZ}=\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}+\overrightarrow{ZX}.\]

Здесь векторы образуют замкнутый контур \(X\to Y\to Z\to X\), поэтому \(\vec p=\vec 0\).

Для второго вектора учтём, что \(-\overrightarrow{XZ}=\overrightarrow{ZX}\):

\[\vec q=(\overrightarrow{XY}-\overrightarrow{XZ})+\overrightarrow{YZ}=\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{ZX}+\overrightarrow{YZ}=\vec 0.\]

Для третьего вектора используем \(-\overrightarrow{ZY}=\overrightarrow{YZ}\), \(-\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{YX}\) и \(-\overrightarrow{ZX}=\overrightarrow{XZ}\):

\[\vec r=(\overrightarrow{ZY}-\overrightarrow{XY})-\overrightarrow{ZX}=\overrightarrow{ZY}+\overrightarrow{YX}+\overrightarrow{XZ}.\]

Эти векторы также образуют замкнутый контур \(Z\to Y\to X\to Z\), поэтому \(\vec r=\vec 0\).

Ответ: \(\vec p=\vec q=\vec r=\vec 0\).