В предложении речь идет о действии, которое произошло в прошлом и закончилось. Об этом говорит обстоятельство времени "two weeks ago". Следовательно, необходимо использовать Past Simple.
Правильная форма глагола "start" в Past Simple – "started".
Andy started reading Harry Potter and the Half-Blood Prince two weeks ago.
Ответ: started