Пятеро друзей играют друг с другом в крестики-нолики. Каждый сыграл с каждым ровно по одному разу. Сколько игр было сыграно?

Решение:

Чтобы найти количество игр, нужно рассчитать количество сочетаний из 5 друзей по 2 человека. Это число игр, где каждая пара друзей сыграла друг с другом один раз.

Формула для числа сочетаний без повторений:

\[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Где \( n \) — общее количество друзей (5), а \( k \) — количество игроков в одной паре (2).

1. Подставим значения в формулу: \[ C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} \]
2. Рассчитаем факториалы: \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \), \( 2! = 2 \times 1 = 2 \), \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \).
3. Подставим значения факториалов: \[ C_5^2 = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10 \]

Таким образом, каждая пара друзей сыграла друг с другом ровно один раз, и общее количество игр равно 10.

Ответ: 10 игр.