"Пятиминутка". Задание 2. Векторы Вариант 1 1. Найдите квадрат длины вектора \(\vec{a} + \vec{b}\) 2. Даны векторы \(\vec{a}(5; -1)\) и \(\vec{b}(0;2)\). Найти скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) 3. На координатной плоскости изображены векторы \(\vec{a}, \vec{b}\) и \(\vec{c}\). Найти квадрат длины вектора \(2\vec{a} - 3\vec{b} + \vec{c}\) 4. На координатной плоскости изображены векторы \(\vec{a}, \vec{b}\) и \(\vec{c}\). Найти значение выражения \((\vec{a} - 3\vec{b}) \cdot 2\vec{c}\) 5. Длины векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равны \(2\sqrt{3}\) и 5, а угол между ними равен 150. Найти произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\)

Давай разберем каждое задание по порядку!

1. Найдите квадрат длины вектора \(\vec{a} + \vec{b}\)

Из графика видно, что координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) следующие: \(\vec{a} = (7, 3)\) \(\vec{b} = (3, -3)\) Тогда вектор \(\vec{a} + \vec{b}\) будет иметь координаты: \(\vec{a} + \vec{b} = (7+3, 3+(-3)) = (10, 0)\) Квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат: \(|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 10^2 + 0^2 = 100\)

Ответ: 100

2. Даны векторы \(\vec{a}(5; -1)\) и \(\vec{b}(0;2)\). Найти скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\)

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (5 \times 0) + (-1 \times 2) = 0 - 2 = -2\)

Ответ: -2

3. На координатной плоскости изображены векторы \(\vec{a}, \vec{b}\) и \(\vec{c}\). Найти квадрат длины вектора \(2\vec{a} - 3\vec{b} + \vec{c}\)

Из графика видно, что координаты векторов следующие: \(\vec{a} = (4, 4)\) \(\vec{b} = (2, 0)\) \(\vec{c} = (0, -4)\) Тогда вектор \(2\vec{a} - 3\vec{b} + \vec{c}\) будет иметь координаты: \(2\vec{a} = (8, 8)\) \(3\vec{b} = (6, 0)\) \(2\vec{a} - 3\vec{b} + \vec{c} = (8-6+0, 8-0-4) = (2, 4)\) Квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат: \(|2\vec{a} - 3\vec{b} + \vec{c}|^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20\)

Ответ: 20

4. На координатной плоскости изображены векторы \(\vec{a}, \vec{b}\) и \(\vec{c}\). Найти значение выражения \((\vec{a} - 3\vec{b}) \cdot 2\vec{c}\)

Из графика видно, что координаты векторов следующие: \(\vec{a} = (2, 0)\) \(\vec{b} = (0, -1.5)\) \(\vec{c} = (2.5, 0)\) Тогда: \(3\vec{b} = (0, -4.5)\) \(\vec{a} - 3\vec{b} = (2, 4.5)\) \(2\vec{c} = (5, 0)\) Скалярное произведение векторов \((\vec{a} - 3\vec{b}) \cdot 2\vec{c}\) равно: \((\vec{a} - 3\vec{b}) \cdot 2\vec{c} = (2 \times 5) + (4.5 \times 0) = 10 + 0 = 10\)

Ответ: 10

5. Длины векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равны \(2\sqrt{3}\) и 5, а угол между ними равен 150. Найти произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\)

Скалярное произведение векторов можно найти по формуле: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)\) где \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) - длины векторов, а \(\theta\) - угол между ними. В нашем случае: \(|\vec{a}| = 2\sqrt{3}\) \(|\vec{b}| = 5\) \(\theta = 150^\circ\) \(\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) Тогда: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2\sqrt{3} \cdot 5 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -15\)

Ответ: -15

Не переживай, если что-то сразу не получается! Главное - продолжай учиться и практиковаться, и ты обязательно достигнешь больших успехов в математике!