Пятиугольник $$ABCDE$$ вписан в окружность. Известно, что его сторона $$AE$$ равна радиусу окружности. Найдите сумму углов $$B$$ и $$D$$ этого пятиугольника.

Рассмотрим пятиугольник $$ABCDE$$, вписанный в окружность. Известно, что сторона $$AE$$ равна радиусу окружности.

1) Так как сторона $$AE$$ равна радиусу окружности, то треугольник $$AOE$$, где $$O$$ - центр окружности, является равносторонним. Следовательно, центральный угол $$\angle AOE = 60^\circ$$.

2) Угол $$ACE$$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $$AE$$, поэтому $$\angle ACE = \frac{1}{2} \angle AOE = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$$.

3) Сумма углов в пятиугольнике равна $$(5 - 2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$$.

4) Пусть $$R$$ - радиус окружности. Рассмотрим четырехугольник $$ABCE$$. Вписанный угол $$ACE = 30^\circ$$. Так как $$AE = R$$, $$\angle AOE = 60^\circ$$, тогда дуга $$AE$$ составляет $$\frac{1}{6}$$ всей окружности.

5) Пусть $$x$$ - градусная мера дуги $$AB$$, $$y$$ - градусная мера дуги $$ED$$, тогда градусная мера дуги $$BCDE = 360^\circ - x - y - 60^\circ$$.

6) Вписанный угол $$\angle A = \frac{1}{2} (дуга BCD + дуга DE) = \frac{1}{2}(360^\circ - x - y - 60^\circ + y) = \frac{1}{2}(300^\circ - x) = 150^\circ - \frac{x}{2}$$.

7) Вписанный угол $$ \angle C = \frac{1}{2} (дуга AB + дуга DE + дуга EA) = \frac{1}{2}(x + y + 60^\circ) = \frac{x}{2} + \frac{y}{2} + 30^\circ$$.

8) $$ \angle B = \frac{1}{2} (дуга $$ACDE$$) и $$\angle D = \frac{1}{2} (дуга $$ABCE$$).

9) Так как $$AE=R$$, где $$R$$ радиус описанной окружности, то сторона $$AE$$ стягивает дугу, равную $$\frac{360}{6}=60$$ градусам. Так как сумма углов пятиугольника $$540^\circ$$, а углы $$B$$ и $$D$$ равны, то $$B = D = 135^\circ$$

10) В итоге, сумма углов $$B$$ и $$D$$ равна $$135^\circ + 135^\circ = 270^\circ$$.

Ответ: 270