Question 14 - 0580/May/June/22 Q22. \(\overrightarrow{OA}=\mathbf{x},\ \overrightarrow{OB}=\mathbf{y}\) and \(\overrightarrow{OD}=\frac{3}{7}\mathbf{x}+\frac{4}{7}\mathbf{y}.\) Calculate the ratio AD : DB.

Перевод задания: \(\overrightarrow{OA}=\mathbf{x},\ \overrightarrow{OB}=\mathbf{y}\) и \(\overrightarrow{OD}=\frac{3}{7}\mathbf{x}+\frac{4}{7}\mathbf{y}\). Найдите отношение AD : DB.

Let \(t\) be the fraction of the way from A to B at which D lies. Then \(\overrightarrow{OD}=(1-t)\mathbf{x}+t\mathbf{y}\). (Пусть точка D находится на доле пути t от A до B. Тогда \(\overrightarrow{OD}=(1-t)\mathbf{x}+t\mathbf{y}\).)

Comparing coefficients with \(\overrightarrow{OD}=\frac{3}{7}\mathbf{x}+\frac{4}{7}\mathbf{y}\), we get \(t=\frac{4}{7}\). (Сравнивая коэффициенты, получаем \(t=\frac{4}{7}\).)

Therefore \(AD:DB=t:(1-t)=\frac{4}{7}:\frac{3}{7}=4:3\). (Следовательно, \(AD:DB=t:(1-t)=\frac{4}{7}:\frac{3}{7}=4:3\).)

Answer: AD : DB = 4 : 3.

Перевод решения: Пусть точка D находится на доле пути t от A до B. Тогда \(\overrightarrow{OD}=(1-t)\mathbf{x}+t\mathbf{y}\). Сравнение с заданным выражением даёт \(t=\frac{4}{7}\). Поэтому \(AD:DB=\frac{4}{7}:\frac{3}{7}=4:3\).