Р_ABC - ?

В данной задаче у нас есть прямоугольный треугольник ABC, в который вписана окружность. Нам даны длины двух отрезков касательных: AD = 24 и DB = 10. Также известно, что AC перпендикулярна BC.

Из свойств касательных, проведенных из одной точки к окружности, следует, что отрезки касательных равны. Поэтому:

• Отрезки от вершины B до точек касания равны: BD = BE = 10.
• Отрезки от вершины A до точек касания равны: AD = AF = 24.
• Отрезки от вершины C до точек касания равны: CD = CE = r (где r - радиус вписанной окружности).

Теперь мы можем найти длины сторон треугольника:

• AB = AD + DB = 24 + 10 = 34.
• AC = AF + FC = 24 + r.
• BC = BE + EC = 10 + r.

Поскольку треугольник ABC прямоугольный (угол C = 90°), мы можем применить теорему Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Подставим известные значения:

\[ 34^2 = (24 + r)^2 + (10 + r)^2 \] \[ 1156 = (576 + 48r + r^2) + (100 + 20r + r^2) \] \[ 1156 = 676 + 68r + 2r^2 \] \[ 2r^2 + 68r + 676 - 1156 = 0 \] \[ 2r^2 + 68r - 480 = 0 \] Разделим всё на 2:

\[ r^2 + 34r - 240 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение для r. Используем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = 34^2 - 4 * 1 * (-240) = 1156 + 960 = 2116

\[ \sqrt{D} = \sqrt{2116} = 46 \]

Теперь найдем r:

r1 = (-34 + 46) / 2 = 12 / 2 = 6

r2 = (-34 - 46) / 2 = -80 / 2 = -40 (этот корень не подходит, так как радиус не может быть отрицательным).

Итак, радиус вписанной окружности r = 6.

Теперь найдем длины сторон AC и BC:

• AC = 24 + r = 24 + 6 = 30.
• BC = 10 + r = 10 + 6 = 16.

Периметр треугольника ABC равен сумме длин его сторон:

P_ABC = AB + AC + BC = 34 + 30 + 16 = 80.

Ответ: 80