р. Математика. 8 класс. Базовый уровень. Код Часть 2 е уравнение 4x² + 12x + 9 = (x - 4)². ение.

Решение уравнения:

Перед нами квадратное уравнение:

\[ 4x^2 + 12x + 9 = (x-4)^2 \]

Сначала раскроем скобки в правой части:

\[ (x-4)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16 \]

Теперь перенесем всё в левую часть:

\[ 4x^2 + 12x + 9 - (x^2 - 8x + 16) = 0 \]

Раскроем скобки, меняя знаки:

\[ 4x^2 + 12x + 9 - x^2 + 8x - 16 = 0 \]

Приведем подобные слагаемые:

\[ (4x^2 - x^2) + (12x + 8x) + (9 - 16) = 0 \]

\[ 3x^2 + 20x - 7 = 0 \]

Это стандартное квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a=3 \), \( b=20 \), \( c=-7 \).

Найдем дискриминант по формуле \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = 20^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 400 + 84 = 484 \]

Так как \( D > 0 \), у нас будет два корня.

Найдем корни по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):

\[ x_1 = \frac{-20 + \sqrt{484}}{2 \cdot 3} = \frac{-20 + 22}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

\[ x_2 = \frac{-20 - \sqrt{484}}{2 \cdot 3} = \frac{-20 - 22}{6} = \frac{-42}{6} = -7 \]

Проверка:

Для \( x = \frac{1}{3} \):

Левая часть: \( 4(\frac{1}{3})^2 + 12(\frac{1}{3}) + 9 = 4(\frac{1}{9}) + 4 + 9 = \frac{4}{9} + 13 = \frac{4 + 117}{9} = \frac{121}{9} \)

Правая часть: \( (\frac{1}{3} - 4)^2 = (\frac{1 - 12}{3})^2 = (\frac{-11}{3})^2 = \frac{121}{9} \)

Левая часть равна правой. Корень \( x = \frac{1}{3} \) подходит.

Для \( x = -7 \):

Левая часть: \( 4(-7)^2 + 12(-7) + 9 = 4(49) - 84 + 9 = 196 - 84 + 9 = 112 + 9 = 121 \)

Правая часть: \( (-7 - 4)^2 = (-11)^2 = 121 \)

Левая часть равна правой. Корень \( x = -7 \) подходит.

Ответ: \( x = -7 \), \( x = \frac{1}{3} \)