Рабочему и ученику нужно было изготовить 115 деталей. После того, как ученик проработал 3 ч, к выполнению задания подключился рабочий, и они вместе закончили работу за 2 ч. Каковы производительности труда рабочего и ученика, если рабочий за 3 ч делает столько же, сколько ученик за 4 ч?

Решение:

1. Обозначения:
   • Пусть $$x$$ — производительность рабочего (деталей в час).
   • Пусть $$y$$ — производительность ученика (деталей в час).
2. Условие рабочего за 3 ч и ученика за 4 ч:
   • По условию, рабочий за 3 часа делает столько же, сколько ученик за 4 часа. Это можно записать как: $$3x = 4y$$.
   • Из этого соотношения выразим $$x$$ через $$y$$: $$x = \frac{4}{3}y$$.
3. Условие выполнения задания:
   • Ученик работал 3 часа самостоятельно: $$3y$$ деталей.
   • Рабочий и ученик работали вместе 2 часа: $$2(x + y)$$ деталей.
   • Всего изготовили 115 деталей: $$3y + 2(x + y) = 115$$.
4. Подстановка и решение уравнения:
   • Подставим $$x = \frac{4}{3}y$$ в уравнение: $$3y + 2(\frac{4}{3}y + y) = 115$$.
   • Упростим выражение в скобках: $$3y + 2(\frac{4}{3}y + \frac{3}{3}y) = 115$$.
   • $$3y + 2(\frac{7}{3}y) = 115$$.
   • $$3y + \frac{14}{3}y = 115$$.
   • Приведем к общему знаменателю: $$\frac{9}{3}y + \frac{14}{3}y = 115$$.
   • $$\frac{23}{3}y = 115$$.
   • Найдем $$y$$: $$y = 115 \cdot \frac{3}{23}$$.
   • $$y = 5 \cdot 3$$.
   • $$y = 15$$ деталей в час (производительность ученика).
5. Находим производительность рабочего:
   • Используем соотношение $$x = \frac{4}{3}y$$: $$x = \frac{4}{3} \cdot 15$$.
   • $$x = 4 \cdot 5$$.
   • $$x = 20$$ деталей в час (производительность рабочего).

Ответ: Производительность рабочего — 20 деталей в час, производительность ученика — 15 деталей в час.