809. Рабочий должен был за определённое время изготовить 72 детали. Однако ежедневно он изготавливал на 4 детали больше, чем планировал, и закончил работу на 3 дня раньше срока. За сколько дней он выполнил работу?

Пусть рабочий планировал изготавливать (x) деталей в день и должен был работать (y) дней.

Тогда общее количество деталей равно (x \cdot y = 72).

Фактически он изготавливал (x + 4) детали в день и работал (y - 3) дня.

Тогда ((x + 4)(y - 3) = 72).

Получаем систему уравнений:

$$ \begin{cases} xy = 72 \\ (x+4)(y-3) = 72 \end{cases} $$

Раскроем скобки во втором уравнении:

$$xy - 3x + 4y - 12 = 72$$

Так как (xy = 72), то

$$72 - 3x + 4y - 12 = 72$$ $$-3x + 4y = 12$$

Выразим (x) через (y) из первого уравнения: (x = \frac{72}{y}).

Подставим это во второе уравнение:

$$-3 \cdot \frac{72}{y} + 4y = 12$$

Умножим обе части на (y):

$$-216 + 4y^2 = 12y$$ $$4y^2 - 12y - 216 = 0$$

Разделим на 4:

$$y^2 - 3y - 54 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225$$

Найдем корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 15}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

$$y_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 15}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$

Так как количество дней не может быть отрицательным, то (y = 9) дней - плановое время.

Тогда (x = \frac{72}{9} = 8) деталей в день - плановая производительность.

Фактически рабочий работал (9 - 3 = 6) дней.

Ответ: Рабочий выполнил работу за 6 дней.