РАБОТА № 5 1. Упростите выражение: \(\frac{2x-2y}{y} \cdot \frac{3y^2}{x^2-y^2}\) 2. Решите уравнение: \(6х^2 + x - 1 = 0\). 3. Решите двойное неравенство \(0 < -2х < 8\) и укажите два каких-нибудь числа, являющихся его решениями. 4. Решите систему уравнений: \(\begin{cases}x+y=6, \\ 5x-2y=9.\end{cases}\) 5. Постройте графики функций \(y = -\frac{3}{x}\) и \(y = x + 4\) и укажите координаты точек пересечения этих графиков. 6. Турист шел от турбазы до станции со скоростью 6 км/ч. Если бы он шел со скоростью 4 км/ч, то затратил бы на дорогу на 1 ч больше. Чему равно расстояние от турбазы до станции? 7. Упростите выражение: \(2\sqrt{5} - \sqrt{45} + \sqrt{3}\).

1. Упростите выражение: \(\frac{2x-2y}{y} \cdot \frac{3y^2}{x^2-y^2}\)

Логика такая:

• Сначала разложим знаменатель второй дроби как разность квадратов.
• Сократим общие множители.

\(\frac{2x-2y}{y} \cdot \frac{3y^2}{x^2-y^2} = \frac{2(x-y)}{y} \cdot \frac{3y^2}{(x-y)(x+y)} = \frac{2 \cdot 3y}{x+y} = \frac{6y}{x+y}\)

2. Решите уравнение: \(6x^2 + x - 1 = 0\)

Разбираемся:

• Решаем квадратное уравнение через дискриминант.

Дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25\)

Корни уравнения:

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\)
\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 - 5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}\)

3. Решите двойное неравенство \(0 < -2x < 8\) и укажите два каких-нибудь числа, являющихся его решениями.

Смотри, тут всё просто:

• Делим все части неравенства на -2, не забывая изменить знаки неравенств.

\(0 < -2x < 8 \Rightarrow 0 > x > -4\) или \(-4 < x < 0\)

Два числа, являющихся решениями: -1 и -2.

4. Решите систему уравнений: \(\begin{cases}x+y=6, \\ 5x-2y=9.\end{cases}\)

Логика решения:

• Выразим y из первого уравнения: \(y = 6 - x\).
• Подставим это выражение во второе уравнение.

\(5x - 2(6 - x) = 9 \Rightarrow 5x - 12 + 2x = 9 \Rightarrow 7x = 21 \Rightarrow x = 3\)

Теперь найдем y:

\(y = 6 - x = 6 - 3 = 3\)

5. Постройте графики функций \(y = -\frac{3}{x}\) и \(y = x + 4\) и укажите координаты точек пересечения этих графиков.

Чтобы найти точки пересечения, приравняем уравнения:

Координаты точек пересечения: (-5, -1) и (1, -3)

\(\begin{aligned} &-\frac{3}{x} = x + 4 \\ &-3 = x^2 + 4x \\ &x^2 + 4x + 3 = 0 \\ &D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \\ &x_1 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 + 2}{2} = -1 \\ &x_2 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 - 2}{2} = -3 \end{aligned}\)

Подставим полученные значения x в y = x + 4, чтобы найти y-координаты точек пересечения:

\(\begin{aligned} &y_1 = -1 + 4 = 3 \\ &y_2 = -3 + 4 = 1 \end{aligned}\)

6. Турист шел от турбазы до станции со скоростью 6 км/ч. Если бы он шел со скоростью 4 км/ч, то затратил бы на дорогу на 1 ч больше. Чему равно расстояние от турбазы до станции?

Обозначим расстояние между турбазой и станцией как S.

Время, которое турист тратит на дорогу со скоростью 6 км/ч: \(t_1 = \frac{S}{6}\).

Время, которое турист тратит на дорогу со скоростью 4 км/ч: \(t_2 = \frac{S}{4}\).

По условию, \(t_2 = t_1 + 1\). Значит, \(\frac{S}{4} = \frac{S}{6} + 1\).

Решаем уравнение:

\(\frac{S}{4} - \frac{S}{6} = 1 \Rightarrow \frac{3S - 2S}{12} = 1 \Rightarrow \frac{S}{12} = 1 \Rightarrow S = 12\)

Расстояние от турбазы до станции равно 12 км.

7. Упростите выражение: \(2\sqrt{5} - \sqrt{45} + \sqrt{3}\)

Преобразуем \(\sqrt{45}\) как \(\sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\).

\(2\sqrt{5} - \sqrt{45} + \sqrt{3} = 2\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + \sqrt{3} = -\sqrt{5} + \sqrt{3}\)