Работа 17. Системы линейных уравнений Вариант 1 1. Является ли пара (-3; 4) решением системы уравнений 2x + 3y = 6, x-5y = 17? 2. Решите систему уравнений (x - 2y = 5, 2x-3y = 9. 3. Найдите координаты точки пересечения графиков функций у=5-2х и у=-x/2. 4. Сколько решений имеют системы: a) (2x + 3y = 7, 4x+6y = 14; б) (2x - y = -5, 3y-6x=-15? 5. Запишите с помощью системы уравнений. Два яблока и три сливы весят вместе 900 г. Слива легче яблока на 80

Решение задания №1

Краткое пояснение: Чтобы проверить, является ли пара чисел решением системы уравнений, нужно подставить эти числа в каждое уравнение системы и убедиться, что оба уравнения выполняются.

Подставим значения x = -3 и y = 4 в систему уравнений:

• 2x + 3y = 6:

\[2 \cdot (-3) + 3 \cdot 4 = -6 + 12 = 6\]

• x - 5y = 17:

\[-3 - 5 \cdot 4 = -3 - 20 = -23\]

Так как второе уравнение не выполняется (-23 ≠ 17), пара (-3; 4) не является решением данной системы уравнений.

Решение задания №2

Краткое пояснение: Решим систему уравнений методом подстановки или сложения.

Система уравнений:

\[\begin{cases}x - 2y = 5 \\ 2x - 3y = 9\end{cases}\]

Выразим x из первого уравнения:

\[x = 2y + 5\]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[2(2y + 5) - 3y = 9\]

\[4y + 10 - 3y = 9\]

\[y = -1\]

Теперь найдем x:

\[x = 2(-1) + 5 = -2 + 5 = 3\]

Решение системы: x = 3, y = -1.

Решение задания №3

Краткое пояснение: Чтобы найти координаты точки пересечения графиков функций, нужно приравнять уравнения и решить полученное уравнение относительно x. Затем подставить найденное значение x в любое из уравнений, чтобы найти y.

Приравняем уравнения:

\[5 - 2x = -\frac{x}{2}\]

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[10 - 4x = -x\]

\[3x = 10\]

\[x = \frac{10}{3}\]

Теперь найдем y, подставив x в одно из уравнений (например, во второе):

\[y = -\frac{1}{2} \cdot \frac{10}{3} = -\frac{5}{3}\]

Координаты точки пересечения: (10/3; -5/3).

Решение задания №4a

Краткое пояснение: Определим, сколько решений имеет система уравнений. Для этого сравним коэффициенты уравнений.

Система уравнений:

\[\begin{cases}2x + 3y = 7 \\ 4x + 6y = 14\end{cases}\]

Заметим, что второе уравнение можно получить, умножив первое на 2:

\[2(2x + 3y) = 2 \cdot 7 \Rightarrow 4x + 6y = 14\]

Это означает, что уравнения пропорциональны и система имеет бесконечно много решений.

Решение задания №4б

Краткое пояснение: Определим, сколько решений имеет система уравнений. Для этого сравним коэффициенты уравнений.

Система уравнений:

\[\begin{cases}2x - y = -5 \\ 3y - 6x = -15\end{cases}\]

Умножим первое уравнение на -3:

\[-3(2x - y) = -3(-5) \Rightarrow -6x + 3y = 15\]

Перепишем второе уравнение:

\[3y - 6x = -15\]

Заметим, что если умножить первое уравнение на -1, получим второе уравнение. Это значит, что уравнения пропорциональны, и система имеет бесконечно много решений.

Решение задания №5

Краткое пояснение: Составим систему уравнений, исходя из условия задачи.

Пусть x - вес яблока, y - вес сливы. Тогда:

• Два яблока и три сливы весят вместе 900 г:

\[2x + 3y = 900\]

• Слива легче яблока на 80 г:

\[y = x - 80\]

Система уравнений:

\[\begin{cases}2x + 3y = 900 \\ y = x - 80\end{cases}\]

Ответ: Задача решена