Работа № 1 «Многоугольники». Вариант 1. 1. Найти сумму углов выпуклого двенадцатиугольника. 2. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его углов равна 2160°? 3. Каждый угол выпуклого многоугольника равен 162°. Найдите число сторон этого многоугольника. 4. В выпуклом пятиугольнике две стороны равны, третья сторона на 3 см больше, а четвертая в 2 раза больше первой стороны, пятая — на 4 см меньше четвертой. Найдите стороны пятиугольника, если известно, что его периметр равен 34 см.

1. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна \((n-2)\cdot180^\circ\). Для двенадцатиугольника: \((12-2)\cdot180^\circ=1800^\circ\).

2. Используем формулу суммы внутренних углов: \((n-2)\cdot180^\circ=2160^\circ\). Тогда \(n-2=12\), откуда \(n=14\).

3. Выпуклый многоугольник с равными углами имеет внешний угол \(180^\circ-162^\circ=18^\circ\). Сумма внешних углов равна \(360^\circ\), поэтому число сторон: \(360^\circ:18^\circ=20\).

4. Обозначим первую сторону через \(x\) см. Тогда стороны равны \(x\), \(x\), \(x+3\), \(2x\), \(2x-4\). По периметру: \(x+x+(x+3)+2x+(2x-4)=34\). Отсюда \(7x-1=34\), \(x=5\).

   Значит, стороны пятиугольника: 5 см, 5 см, 8 см, 10 см и 6 см. Проверка: \(5+5+8+10+6=34\) см.

Ответ: 1) 1800°; 2) 14 сторон; 3) 20 сторон; 4) 5 см, 5 см, 8 см, 10 см, 6 см.