Работа № 2 «Четырехугольники». Вариант 1. 1. Найти углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на 30° меньше другого. 2. Угол между диагоналями прямоугольника равен 80°. Найдите углы между диагоналями прямоугольника и его сторонами. 3. Периметр прямоугольника равен 40 см. Найдите его стороны, если одна из них на 6 см меньше другой. 4. В ромбе угол между диагональю и стороной равен 25°. Найдите угол ромба.

1. Диагональ ромба делит угол при вершине пополам. Углы между диагональю и двумя прилегающими сторонами дополняют друг друга до \(90^\circ\). Пусть меньший равен \(x\), больший — \(x+30^\circ\). Тогда \(x+(x+30^\circ)=90^\circ\), откуда \(x=30^\circ\), а больший угол равен \(60^\circ\). Это половины углов ромба, поэтому его углы равны \(60^\circ\) и \(120^\circ\).

2. Диагонали прямоугольника симметричны относительно стороны, параллельной одной из них: острый угол между диагоналями равен удвоенному углу между диагональю и длинной стороной. Поэтому этот угол равен \(80^\circ:2=40^\circ\). Угол между диагональю и перпендикулярной стороной равен \(90^\circ-40^\circ=50^\circ\). Следовательно, диагонали образуют со сторонами углы 40° и 50°.

3. Пусть большая сторона равна \(x\) см, тогда меньшая — \(x-6\) см. Из периметра: \(2(x+x-6)=40\), значит, \(2x-6=20\), \(x=13\). Меньшая сторона: \(13-6=7\) см.

4. Диагональ ромба делит угол при вершине пополам. Значит, угол ромба, разделённый этой диагональю, равен \(2\cdot25^\circ=50^\circ\). Соседний угол дополняет его до \(180^\circ\): \(180^\circ-50^\circ=130^\circ\).

Ответ: 1) 60° и 120°; 2) 40° и 50°; 3) 7 см и 13 см; 4) углы ромба — 50° и 130°.