Работа над ошибками „Нахождением ельного результата с помощью н вариант 3 1. y = x 3 - 24x 2 + 17

Решение:

Задание представляет собой функцию \( y = x^3 - 24x^2 + 17 \). Для нахождения экстремумов (максимумов и минимумов) функции необходимо найти её производную, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение.

1. Найдём производную функции:
   \( y' = (x^3 - 24x^2 + 17)' \)
   \( y' = 3x^2 - 48x \)
2. Приравняем производную к нулю:
   \( 3x^2 - 48x = 0 \)
3. Вынесем общий множитель \( 3x \):
   \( 3x(x - 16) = 0 \)
4. Отсюда получаем два критических значения \( x \):
   \( 3x = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x_1 = 0 \)
   \( x - 16 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x_2 = 16 \)
5. Определим тип экстремумов с помощью второй производной:
   \( y'' = (3x^2 - 48x)' = 6x - 48 \)
6. Проверим вторую производную в критических точках:
   При \( x_1 = 0 \): \( y''(0) = 6(0) - 48 = -48 \). Так как \( y''(0) < 0 \), то в точке \( x=0 \) — максимум.
   При \( x_2 = 16 \): \( y''(16) = 6(16) - 48 = 96 - 48 = 48 \). Так как \( y''(16) > 0 \), то в точке \( x=16 \) — минимум.
7. Найдем значения функции в точках экстремумов:
   Максимум: \( y(0) = 0^3 - 24(0)^2 + 17 = 17 \). Точка максимума: \( (0, 17) \).
   Минимум: \( y(16) = 16^3 - 24(16)^2 + 17 = 4096 - 24(256) + 17 = 4096 - 6144 + 17 = -2048 + 17 = -2031 \). Точка минимума: \( (16, -2031) \).

Ответ: Максимум функции в точке (0, 17), минимум функции в точке (16, -2031).