Радиус большей дуги окружности равен стороне квадрата. Центры двух равных окружностей расположены на серединах смежных сторон квадрата. Каждая из двух равных окружностей касается диагонали квадрата. Сторона квадрата равна 600 мм. Определите площадь рабочей области манипулятора. Ответ выразите в квадратных сантиметрах, округлите до целых. Примите \( \pi \approx 3.14 \) см.

Решение:

1. Найдем площадь квадрата. Сторона квадрата равна \( a = 600 \text{ мм} = 60 \text{ см} \).

Площадь квадрата: \( S_{квадрата} = a^2 = (60 \text{ см})^2 = 3600 \text{ см}^2 \).

2. Рабочая область манипулятора состоит из двух секторов круга. Радиус каждого сектора равен стороне квадрата, \( R = a = 60 \text{ см} \).

Центры окружностей находятся на серединах смежных сторон квадрата. Это значит, что каждый сектор занимает четверть круга (\( 90^{\circ} \)).

Площадь одного сектора: \( S_{сектора} = \frac{1}{4} \pi R^2 = \frac{1}{4} \pi (60 \text{ см})^2 = \frac{1}{4} \pi \cdot 3600 \text{ см}^2 = 900 \pi \text{ см}^2 \).

3. Общая площадь двух секторов: \( 2 \cdot S_{сектора} = 2 \cdot 900 \pi \text{ см}^2 = 1800 \pi \text{ см}^2 \).

4. Однако, рабочая область — это область, где пересекаются эти секторы. На схеме видно, что рабочая область формируется вычитанием из квадрата двух четвертей круга, радиус которых равен половине диагонали квадрата. Но условие говорит о другом. \( \mathbf{Дано} \): \( a = 60 \text{ см} \), \( \pi \approx 3.14 \).

Рассмотрим схему рабочей области. Она представляет собой квадрат, из которого вычли две области. Каждая такая область — это сегмент круга. Центры окружностей находятся на серединах сторон квадрата. Радиус большей дуги окружности равен стороне квадрата. Это означает, что центр одной окружности лежит на середине одной стороны, а радиус равен стороне квадрата. Это соответствует схеме, где дуга проходит через две противоположные вершины квадрата, если центр на середине стороны. Условие "Каждая из двух равных окружностей касается диагонали квадрата" означает, что окружности с центрами на серединах сторон касаются диагонали. Диагональ квадрата \( d = a \sqrt{2} = 60\sqrt{2} \text{ см} \). Расстояние от середины стороны до диагонали равно \( \frac{d}{2} = 30\sqrt{2} \text{ см} \). Радиус окружности равен стороне квадрата \( R = 60 \text{ см} \). Это противоречие. \( \mathbf{Переосмыслим} \) условие по схеме.

На схеме рабочей области видно, что это часть квадрата. \( \mathbf{Схема} \) рабочей области: квадрат, из которого вычли две области. \( \mathbf{Радиус} \) большей дуги окружности равен стороне квадрата. \( \mathbf{Центры} \) двух равных окружностей расположены на серединах смежных сторон квадрата. \( \mathbf{Каждая} \) из двух равных окружностей касается диагонали квадрата. \( \mathbf{Сторона} \) квадрата равна \( 60 \text{ см} \). \( \mathbf{R} = 60 \text{ см} \). \( \mathbf{d} = 60 \sqrt{2} \text{ см} \). \( \mathbf{R} = a \). Центры на серединах сторон. \( \mathbf{r} = a/2 = 30 \text{ см} \) — это радиус окружности, центры которой на серединах сторон. \( \mathbf{S} = a^2 \).

Из рисунка рабочей области видно, что это область, ограниченная двумя дугами. Радиус дуги равен стороне квадрата, \( R = 60 \text{ см} \). Центры этих дуг находятся на серединах смежных сторон квадрата. \( \mathbf{S_{рабочей\,области}} = 2 \times S_{сектора} - S_{пересечения} \). \( \mathbf{S_{сектора}} = \frac{1}{4} \pi R^2 = \frac{1}{4} \pi (60)^2 = 900 \pi \text{ см}^2 \).

По схеме, рабочая область — это сумма двух сегментов. Сегмент получается вычитанием из сектора треугольника. \( \mathbf{R} = 60 \text{ см} \). \( \mathbf{a} = 60 \text{ см} \). Центры на серединах сторон. \( \mathbf{S_{рабочей\,области}} = \mathbf{S_{квадрата}} - \mathbf{2 \times S_{нерабочей\,области}} \). \( \mathbf{S_{нерабочей\,области}} \) — это площадь, ограниченная стороной квадрата и дугой. \( \mathbf{R} = 60 \text{ см} \). \( \mathbf{a} = 60 \text{ см} \). Центры на серединах сторон. \( \mathbf{S_{сегмента}} = S_{сектора} - S_{треугольника} \). \( \mathbf{S_{сектора}} = \frac{1}{4} \pi R^2 = \frac{1}{4} \pi (60)^2 = 900 \pi \text{ см}^2 \). \( \mathbf{S_{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot \mathbf{a} \cdot \mathbf{a/2} = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 30 = 900 \text{ см}^2 \). \( \mathbf{S_{сегмента}} = 900\pi - 900 \text{ см}^2 \). \( \mathbf{S_{рабочей\,области}} = \mathbf{2 \times S_{сегмента}} = 2(900\pi - 900) = 1800\pi - 1800 \text{ см}^2 \).

Подставим \( \pi \approx 3.14 \):

\( S_{рабочей\,области} = 1800 \cdot 3.14 - 1800 = 1800 (3.14 - 1) = 1800 \cdot 2.14 \)

\( 1800 \cdot 2.14 = 18 \cdot 214 = 3852 \text{ см}^2 \).

Округляем до целых: \( 3852 \text{ см}^2 \).

Ответ: 3852 см².