4. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 2√3 см, а радиус окружности вписанной в него, – 3 см. Найдите: 3) Сторону многоугольника; 4) Количество сторон многоугольника.

Ответ: 3) 6 см, 4) 6 сторон

Решение

Пусть n - количество сторон многоугольника, a - длина стороны многоугольника, R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности.

Известны формулы:

• \[R = \frac{a}{2\sin(\frac{\pi}{n})}\]
• \[r = \frac{a}{2\tan(\frac{\pi}{n})}\]

Подставим известные значения R и r:

• \[2\sqrt{3} = \frac{a}{2\sin(\frac{\pi}{n})}\]
• \[3 = \frac{a}{2\tan(\frac{\pi}{n})}\]

Разделим первое уравнение на второе:

\[\frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{\frac{a}{2\sin(\frac{\pi}{n})}}{\frac{a}{2\tan(\frac{\pi}{n})}} = \frac{\tan(\frac{\pi}{n})}{\sin(\frac{\pi}{n})} = \frac{\frac{\sin(\frac{\pi}{n})}{\cos(\frac{\pi}{n})}}{\sin(\frac{\pi}{n})} = \frac{1}{\cos(\frac{\pi}{n})}\]

Получаем:

\[\cos(\frac{\pi}{n}) = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Значит,

\[\frac{\pi}{n} = \frac{\pi}{6}\]

Следовательно, n = 6. Это шестиугольник.

Теперь найдем сторону a, используя радиус вписанной окружности:

\[3 = \frac{a}{2\tan(\frac{\pi}{6})}\]\[3 = \frac{a}{2\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}\]\[a = 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\]

Отсюда, сторона многоугольника равна:

\[a = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6\]

Тогда a = 6 см.

Ответ:

• 3) Сторона многоугольника: 6 см
• 4) Количество сторон многоугольника: 6

Ответ: 3) 6 см, 4) 6 сторон