Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 см, а сумма катетов равна 17 см. Найдите периметр треугольника и его площадь.

Пусть $$a$$ и $$b$$ - катеты прямоугольного треугольника, а $$c$$ - гипотенуза. Радиус вписанной окружности $$r = 2$$ см. Сумма катетов $$a+b = 17$$ см.

Формула для радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике: $$r = \frac{a+b-c}{2}$$.

Подставляем известные значения: $$2 = \frac{17-c}{2} \implies 4 = 17-c \implies c = 13$$ см.

Периметр треугольника $$P = a+b+c = 17 + 13 = 30$$ см.

Площадь прямоугольного треугольника $$S = \frac{1}{2}ab$$. Из $$a+b=17$$ и $$c=13$$, по теореме Пифагора $$a^2+b^2=c^2=169$$. Также $$(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$$, поэтому $$17^2 = 169 + 2ab \implies 289 = 169 + 2ab \implies 2ab = 120 \implies ab = 60$$.

Площадь $$S = \frac{1}{2}(60) = 30$$ см$$^2$$.