Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 7√3. Найдите длину стороны этого треугольника.

Решение:

Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности \( r \) и радиус описанной окружности \( R \) связаны соотношениями:

\( r = \frac{1}{3} h \)

\( R = \frac{2}{3} h \)

где \( h \) — высота равностороннего треугольника.

Также высота равностороннего треугольника со стороной \( a \) равна:

\( h = \frac{a \sqrt{3}}{2} \).

Подставим это в формулу для \( r \):

\( r = \frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{6} \).

По условию, \( r = 7 \sqrt{3} \).

Приравняем:

\( \frac{a \sqrt{3}}{6} = 7 \sqrt{3} \).

Разделим обе части на \( \sqrt{3} \):

\( \frac{a}{6} = 7 \).

Умножим обе части на 6:

\( a = 7 \cdot 6 = 42 \).

Длина стороны равностороннего треугольника равна 42.

Ответ: 42