1. Радиус основания цилиндра равен 13, а его образующая равна 18. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 12. Найдите площадь этого сечения. 2. Объём конуса равен 27. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью. 3. Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в четыре раза ниже второй, а вторая в полтора раза шире первой. Во сколько раз объём первой кружки меньше объёма второй? 4. Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π. 5. Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π.

1. Площадь сечения цилиндра

• Радиус основания цилиндра: R = 13
• Образующая цилиндра (высота): h = 18
• Расстояние от оси цилиндра до сечения: d = 12

Сечение цилиндра, параллельное его оси, представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна образующей цилиндра (h), а другая - хорде основания цилиндра, находящейся на расстоянии d от центра.

Найдем половину длины хорды (x) из прямоугольного треугольника, образованного радиусом, половиной хорды и расстоянием от центра до хорды:

\[x = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5\]

Длина хорды равна 2x, то есть 2 * 5 = 10.

Площадь сечения равна произведению длины хорды на высоту цилиндра:

\[S = h \cdot 2x = 18 \cdot 10 = 180\]

Ответ: 180

2. Объём отсекаемого конуса

• Объём конуса: V = 27
• Высота делится в отношении 1:2 от вершины

Плоскость, параллельная основанию, делит высоту конуса в отношении 1:2, считая от вершины. Это значит, что высота отсекаемого конуса составляет 1/3 от высоты исходного конуса.

Отношение объемов подобных тел равно кубу отношения их линейных размеров. В данном случае, отношение высот конусов равно 1/3.

Найдем объём отсекаемого конуса:

\[V_{отс} = V \cdot (\frac{1}{3})^3 = 27 \cdot \frac{1}{27} = 1\]

Ответ: 1

3. Отношение объёмов кружек

• Первая кружка в 4 раза ниже второй
• Вторая кружка в 1.5 раза шире первой

Пусть высота первой кружки h₁, а радиус основания r₁. Тогда высота второй кружки h₂ = 4h₁, а радиус основания r₂ = 1.5r₁.

Объём цилиндрической кружки вычисляется по формуле V = πr²h.

Объём первой кружки:

\[V_1 = \pi r_1^2 h_1\]

Объём второй кружки:

\[V_2 = \pi r_2^2 h_2 = \pi (1.5r_1)^2 (4h_1) = \pi (2.25r_1^2) (4h_1) = 9 \pi r_1^2 h_1\]

Отношение объёмов:

\[\frac{V_2}{V_1} = \frac{9 \pi r_1^2 h_1}{\pi r_1^2 h_1} = 9\]

Следовательно, объём первой кружки в 9 раз меньше объёма второй.

Ответ: в 9 раз

4. Объем части цилиндра

На рисунке изображена часть цилиндра, объем которой нужно найти. Высота цилиндра равна 3 + 5 = 8, а радиус основания равен 6.

Объем цилиндра равен \(V = \pi R^2 h\). Объем представленной части цилиндра равен половине объема цилиндра.

Площадь основания равна \( \frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{1}{2} \pi \cdot 6^2 = 18 \pi \)

Объем равен: \(V = 8 \cdot 18 \pi = 144 \pi \)

В ответе нужно указать V/π, поэтому делим полученный объем на π:

\[\frac{V}{\pi} = \frac{144 \pi}{\pi} = 144\]

Ответ: 144

5. Объем части цилиндра

На рисунке изображена часть цилиндра в форме полого цилиндра. Внешний радиус цилиндра равен 2, внутренний радиус равен 1, а высота равна 3.

Объем полого цилиндра равен разности объемов внешнего и внутреннего цилиндров:

\[V = \pi h (R^2 - r^2)\]

где R - внешний радиус, r - внутренний радиус, h - высота.

Подставляем значения:

\[V = \pi \cdot 3 (2^2 - 1^2) = \pi \cdot 3 (4 - 1) = \pi \cdot 3 \cdot 3 = 9\pi\]

В ответе нужно указать V/π, поэтому делим полученный объем на π:

\[\frac{V}{\pi} = \frac{9 \pi}{\pi} = 9\]

Ответ: 9