31. Радиус шара R. Через конец радиуса проведена плоскость под 60° к нему. Найдите площадь сечения.

Решение:

• Шаг 1: Определим радиус сечения.

Радиус шара равен \(R\). Плоскость проведена через конец радиуса под углом \(60^\circ\) к нему. Это означает, что расстояние от центра шара до плоскости равно:

\[d = R \cos(60^\circ) = R \cdot \frac{1}{2} = \frac{R}{2}\]

Радиус сечения \(r\) найдем по теореме Пифагора:

\[r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{R^2 - \left(\frac{R}{2}\right)^2} = \sqrt{R^2 - \frac{R^2}{4}} = \sqrt{\frac{3R^2}{4}} = \frac{R\sqrt{3}}{2}\]

• Шаг 2: Найдем площадь сечения.

Площадь сечения (круга) вычисляется по формуле:

\[S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{R\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{3R^2}{4} = \frac{3\pi R^2}{4}\]

Ответ: \(\frac{3\pi R^2}{4}\)