Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону \( \vec{r} = 2t^3\vec{i} - t^2\vec{j} \), где \( \vec{i} \) и \( \vec{j} \) орты осей X и Y. Определите для момента времени t = 1 с модуль ускорения. Ответ округлите до целых.

Решение:

Радиус-вектор материальной точки задан как \( \vec{r}(t) = 2t^3\vec{i} - t^2\vec{j} \).

Чтобы найти ускорение, нам нужно дважды продифференцировать радиус-вектор по времени.

1. Найдем скорость, продифференцировав \( \vec{r}(t) \) по \( t \):
   \( \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^3)\vec{i} - \frac{d}{dt}(t^2)\vec{j} \)
   \( \vec{v}(t) = 6t^2\vec{i} - 2t\vec{j} \)
2. Найдем ускорение, продифференцировав \( \vec{v}(t) \) по \( t \):
   \( \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(6t^2)\vec{i} - \frac{d}{dt}(2t)\vec{j} \)
   \( \vec{a}(t) = 12t\vec{i} - 2\vec{j} \)
3. Теперь подставим момент времени \( t = 1 \) с в выражение для ускорения:
   \( \vec{a}(1) = 12(1)\vec{i} - 2\vec{j} = 12\vec{i} - 2\vec{j} \)
4. Найдем модуль ускорения:
   \( |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} \)
   \( |\vec{a}(1)| = \sqrt{12^2 + (-2)^2} = \sqrt{144 + 4} = \sqrt{148} \)
5. Округлим результат до целых:
   \( \sqrt{148} \approx 12.1655 \)
   Округляя до целых, получаем 12.

Ответ: 12