Расчёт шарнирно- стержневого кронштейна.

Условие:

Шарнирно- стержневой кронштейн изготовлен из двух стержней. Один из них стальной с допускаемым напряжением при растяжении \( [\sigma] = 160 \) МПа, другой чугунный с допускаемым напряжением при растяжении \( [\sigma] = 40 \) МПа и при сжатии - \( [\sigma] = 80 \) МПа. Требуется подобрать сечения стержней из условия прочности, сделав растянутый стержень стальным, а сжатый - чугунным.

Дано:

\( \sigma_{ст. рас.}= 160 \) МПа

\( \sigma_{чуг. рас.} = 40 \) МПа

\( \sigma_{чуг. сж.} = 80 \) МПа

\( P = 180 \) кН

Найти:

Сечения стержней.

Решение:

Стержни работают на растяжение и сжатие под действием силы \( P \). Угол между стержнями и вертикальной стенкой составляет 60°.

1. Определим усилия в стержнях.
   Сила \( P \) раскладывается на две составляющие, действующие вдоль стержней. Растянутый стержень (угол 60° к горизонтали) испытывает силу \( N_1 \), а сжатый стержень (угол 60° к вертикали) испытывает силу \( N_2 \).
   Угол между стержнем \( 1 \) и силой \( P \) равен \( 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).
   Угол между стержнем \( 2 \) и силой \( P \) равен \( 60^\circ \).
   Используем закон синусов для определения усилий в стержнях:
   \[ \frac{N_1}{\sin(90^\circ - 60^\circ)} = \frac{N_2}{\sin(60^\circ)} = \frac{P}{\sin(180^\circ - 60^\circ - 30^\circ)} \]
   \[ \frac{N_1}{\sin(30^\circ)} = \frac{N_2}{\sin(60^\circ)} = \frac{P}{\sin(90^\circ)} \]
   \[ N_1 = P \cdot \sin(30^\circ) = 180 \text{ кН} \cdot 0.5 = 90 \text{ кН} \]
   \[ N_2 = P \cdot \sin(60^\circ) = 180 \text{ кН} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 180 \text{ кН} \cdot 0.866 \approx 155.88 \text{ кН} \]
2. Проверим условие прочности для стального стержня (растяжение).
   Допускаемое напряжение для стали при растяжении \( [\sigma_{ст}] = 160 \) МПа.
   Требуемая площадь сечения \( A_{ст} \) определяется по формуле:
   \[ A_{ст} = \frac{N_1}{[\sigma_{ст}]} = \frac{90 \text{ кН}}{160 \text{ МПа}} = \frac{90 \times 10^3 \text{ Н}}{160 \times 10^6 \text{ Н/м}^2} = 0.5625 \times 10^{-3} \text{ м}^2 = 5.625 \text{ см}^2 \]
3. Проверим условие прочности для чугунного стержня (сжатие).
   Допускаемое напряжение для чугуна при сжатии \( [\sigma_{чуг. сж.}] = 80 \) МПа.
   Требуемая площадь сечения \( A_{чуг} \) определяется по формуле:
   \[ A_{чуг} = \frac{N_2}{[\sigma_{чуг. сж.}]} = \frac{155.88 \text{ кН}}{80 \text{ МПа}} = \frac{155.88 \times 10^3 \text{ Н}}{80 \times 10^6 \text{ Н/м}^2} \approx 1.9485 \times 10^{-3} \text{ м}^2 \approx 19.485 \text{ см}^2 \]
4. Выбор сечений.
   Для стального стержня требуется площадь \( 5.625 \text{ см}^2 \). Можно выбрать, например, круглый стержень диаметром \( d = \sqrt{\frac{4 A_{ст}}{\pi}} = \sqrt{\frac{4 \times 5.625 \text{ см}^2}{\pi}} \approx \sqrt{7.16 \text{ см}^2} \approx 2.68 \text{ см} \). Стандартный профиль с достаточной площадью.
5. Для чугунного стержня требуется площадь \( 19.485 \text{ см}^2 \). Можно выбрать, например, круглый стержень диаметром \( d = \sqrt{\frac{4 A_{чуг}}{\pi}} = \sqrt{\frac{4 \times 19.485 \text{ см}^2}{\pi}} \approx \sqrt{24.8 \text{ см}^2} \approx 4.98 \text{ см} \). Стандартный профиль с достаточной площадью.

Ответ: Сечение стального стержня должно быть не менее \( 5.625 \text{ см}^2 \). Сечение чугунного стержня должно быть не менее \( 19.485 \text{ см}^2 \).