Раскройте скобки и перенесите в каждом уравнении все слагаемые с переменными в левую часть. { 5(x+y)=-16+2x+7y, 3(y-x)=-4+10x+9y. }

Чтобы решить эту систему уравнений, сначала раскроем скобки и перенесем все члены с переменными в левую часть каждого уравнения.

Шаг 1: Раскрытие скобок и перенос членов

• Первое уравнение:
  \[ 5(x+y) = -16 + 2x + 7y \]\[ 5x + 5y = -16 + 2x + 7y \]\[ 5x - 2x + 5y - 7y = -16 \]\[ 3x - 2y = -16 \]
• Второе уравнение:
  \[ 3(y-x) = -4 + 10x + 9y \]\[ 3y - 3x = -4 + 10x + 9y \]\[ -3x - 10x + 3y - 9y = -4 \]\[ -13x - 6y = -4 \]

Шаг 2: Решение полученной системы уравнений

Теперь у нас есть новая система:

• \[ \begin{cases} 3x - 2y = -16 \\ -13x - 6y = -4 \end{cases} \]

Можно использовать метод подстановки или сложения. Давайте используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 3, чтобы коэффициенты при y стали противоположными:

• Умножаем первое уравнение на 3:
  \[ 3(3x - 2y) = 3(-16) \]\[ 9x - 6y = -48 \]
• Теперь сложим это уравнение со вторым уравнением системы:
  \[ (9x - 6y) + (-13x - 6y) = -48 + (-4) \]\[ 9x - 13x - 6y - 6y = -52 \]\[ -4x - 12y = -52 \]

ОШИБКА В РАСЧЕТАХ! Давайте попробуем еще раз, умножив первое уравнение на -3, чтобы коэффициенты при y стали противоположными:

• Умножаем первое уравнение на -3:
  \[ -3(3x - 2y) = -3(-16) \]\[ -9x + 6y = 48 \]
• Теперь сложим это уравнение со вторым уравнением системы:
  \[ (-9x + 6y) + (-13x - 6y) = 48 + (-4) \]\[ -9x - 13x + 6y - 6y = 44 \]\[ -22x = 44 \]\[ x = \frac{44}{-22} \]\[ x = -2 \]

Шаг 3: Находим значение y

Подставим найденное значение x = -2 в первое уравнение системы (3x - 2y = -16):

• \[ 3(-2) - 2y = -16 \]\[ -6 - 2y = -16 \]\[ -2y = -16 + 6 \]\[ -2y = -10 \]\[ y = \frac{-10}{-2} \]\[ y = 5 \]

Шаг 4: Проверка

Подставим найденные значения x = -2 и y = 5 во второе уравнение исходной системы:

• \[ 3(y - x) = -4 + 10x + 9y \]\[ 3(5 - (-2)) = -4 + 10(-2) + 9(5) \]\[ 3(5 + 2) = -4 - 20 + 45 \]\[ 3(7) = -24 + 45 \]\[ 21 = 21 \]

Решение верно.

Ответ: x = -2, y = 5