Расплавили несколько металлических шаров радиусом 5 см и из полученного металла отлили шар радиусом 15 см. Сколько шаров потребовалось для плавления, если потери металла при переплавке составили 10% объёма?

Пошаговое решение:

• 1. Расчет объема одного маленького шара (радиус 5 см):
  Объем шара вычисляется по формуле \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \).
  \( V_{маленького} = \frac{4}{3}\pi (5 ext{ см})^3 = \frac{4}{3}\pi (125 ext{ см}^3) = \frac{500}{3}\pi ext{ см}^3 \).
• 2. Расчет объема большого шара (радиус 15 см) с учетом потерь:
  Объем большого шара: \( V_{большого} = \frac{4}{3}\pi (15 ext{ см})^3 = \frac{4}{3}\pi (3375 ext{ см}^3) = 4500\pi ext{ см}^3 \>.
• 3. Определение необходимого объема металла до потерь:
  Потери составляют 10% объема, значит, 4500π см³ — это 90% от исходного металла. Обозначим необходимый объем как \( V_{нужный \text{ до потерь}} \).
  \( 0.9 imes V_{нужный \text{ до потерь}} = 4500\pi ext{ см}^3 \>
  \( V_{нужный \text{ до потерь}} = \frac{4500\pi}{0.9} ext{ см}^3 = 5000\pi ext{ см}^3 \>.
• 4. Расчет количества маленьких шаров:
  Теперь нужно узнать, сколько маленьких шаров (объемом \( \frac{500}{3}\pi ext{ см}^3 \)) необходимо, чтобы получить \( 5000\pi ext{ см}^3 \>.
• Количество шаров = \( \frac{V_{нужный \text{ до потерь}}}{V_{маленького}} \)
  Количество шаров = \( \frac{5000\pi ext{ см}^3}{\frac{500}{3}\pi ext{ см}^3} \) = \( \frac{5000}{\frac{500}{3}} \) = \( 5000 imes \frac{3}{500} \) = \( 10 imes 3 \) = 30 шаров.

Ответ: 30