Расположите в логической последовательности этапы преобразования неопределенного интеграла \(\int sin 2x sin 3x dx\):

Для решения данного задания необходимо использовать формулу произведения синусов:

$$sin \alpha sin \beta = \frac{1}{2}[cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta)]$$

В нашем случае: \(\alpha = 2x\), \(\beta = 3x\). Тогда:

$$sin 2x sin 3x = \frac{1}{2}[cos(2x - 3x) - cos(2x + 3x)] = \frac{1}{2}[cos(-x) - cos(5x)]$$

Так как \(cos(-x) = cos(x)\), то:

$$sin 2x sin 3x = \frac{1}{2}[cos(x) - cos(5x)]$$

Теперь рассмотрим предложенные варианты и определим порядок действий:

1. \(\frac{1}{2} \int [-cos(2+3)x + cos(2-3)x] dx\) - это результат применения формулы произведения синусов, то есть первый шаг.
2. \(-\frac{1}{2} \int cos 5x dx + \frac{1}{2} \int cos x dx\) - это раскрытие интеграла и перестановка слагаемых.
3. \(-\frac{1}{25}sin 5x + \frac{1}{2} sin x + C\) - неверный результат интегрирования.
4. \(-\frac{1}{10}sin 5x + \frac{1}{2} sin x + C\) - верный результат интегрирования.

Теперь выполним интегрирование по шагам:

1. Применим формулу произведения синусов:

$$\int sin 2x sin 3x dx = \int \frac{1}{2}[cos(x) - cos(5x)] dx = \frac{1}{2} \int [cos(x) - cos(5x)] dx$$

2. Раскроем интеграл:

$$\frac{1}{2} \int [cos(x) - cos(5x)] dx = \frac{1}{2} \int cos(x) dx - \frac{1}{2} \int cos(5x) dx = \frac{1}{2} \int cos x dx - \frac{1}{2} \int cos 5x dx$$

3. Вычислим интегралы:

$$\frac{1}{2} \int cos x dx = \frac{1}{2} sin x + C_1$$

$$\frac{1}{2} \int cos 5x dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} sin 5x + C_2 = \frac{1}{10} sin 5x + C_2$$

4. Подставим результаты интегрирования:

$$\frac{1}{2} sin x - \frac{1}{10} sin 5x + C$$

Таким образом, логическая последовательность этапов преобразования выглядит так:

1. \(\frac{1}{2} \int [-cos(2+3)x + cos(2-3)x] dx\)
2. \(-\frac{1}{2} \int cos 5x dx + \frac{1}{2} \int cos x dx\)
3. \(-\frac{1}{10}sin 5x + \frac{1}{2} sin x + C\)

Следовательно, правильный порядок: 1, 2, 4.

Ответ: 1, 2, 4