Расположите выражения 5^2:5^{-2}; 5^0:5^3; 5^{-3} · 5^3 в порядке убывания их значений.

Решение:

Сначала упростим каждое выражение, используя свойства степеней:

1. \( 5^2 : 5^{-2} = 5^{2 - (-2)} = 5^{2+2} = 5^4 \)
2. \( 5^0 : 5^3 = 5^{0-3} = 5^{-3} \)
3. \( 5^{-3} · 5^3 = 5^{-3+3} = 5^0 \)

Теперь сравним полученные значения степеней:

• \( 5^4 \)
• \( 5^{-3} \)
• \( 5^0 \)

Так как основание степени \( 5 \) больше 1, функция \( y = 5^x \) является возрастающей. Следовательно, чем больше показатель степени, тем больше значение выражения.

Показатели степеней в порядке убывания:

• \( 4 \)
• \( 0 \)
• \( -3 \)

Соответственно, выражения в порядке убывания их значений:

• \( 5^2 : 5^{-2} \) (значение \( 5^4 \))
• \( 5^{-3} · 5^3 \) (значение \( 5^0 \))
• \( 5^0 : 5^3 \) (значение \( 5^{-3} \))

Ответ: \( 5^2 : 5^{-2}; 5^{-3} · 5^3; 5^0 : 5^3 \).